禁止的回文子串 Dyslexic Gollum

UVA1633

一个长的回文串都可以由短的回文串拓展而来，只要短的回文在左右两端增加相同的字符即可。因此，在考虑长度为NNN的01串时，只要在从长度为1向NNN拓展的过程中，保证后KKK个字符不是回文串即可。

定义：

dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]为考虑长度为i的串的后KKK个字符组成的子串为jjj时的合法字符串的数量。IsPalindrome[i][j]IsPalindrome[i][j]IsPalindrome[i][j]为长度为iii的字符串jjj是否为回文串。由于K≤10K\leq 10K≤10，小于intintint的32为并且为01串，可以用一个intintint来保存字符串jjj，进行状态压缩。

求IsPalindrome

初始化：

IsPalindrome[1][0]=dp[1][1]=trueIsPalindrome[2][0]=dp[2][3]=trueIsPalindrome[1][0]=dp[1][1]=true\\IsPalindrome[2][0]=dp[2][3]=trueIsPalindrome[1][0]=dp[1][1]=trueIsPalindrome[2][0]=dp[2][3]=true即0，1，00，11为回文串。

转移方程：

IsPalindrome[i][j]=IsPalindrome[i−2][j去掉第一个字符和最后一个字符形成的子串]&&(j的第一个字符==j的最后一个字符)IsPalindrome[i][j]=IsPalindrome[i-2][j去掉第一个字符和最后一个字符形成的子串]\\\&\&\\(j的第一个字符==j的最后一个字符)IsPalindrome[i][j]=IsPalindrome[i−2][j去掉第一个字符和最后一个字符形成的子串]&&(j的第一个字符==j的最后一个字符)典型的中心拓展法，一个回文串如果左右各增加一个相同的字符，则形成的新字符串仍然是回文串。

求dp

初始化：

dp[0][0]=1，其他元素=0dp[0][0]=1，其他元素=0dp[0][0]=1，其他元素=0即空串绝对合法且种类唯一。

转移方程：

int getState(int State, int Last) {
 //如果State的长度大于等于K，则去掉最左边
 if (State >= 1 << K - 1) {
  State -= 1 << K - 1;
 }
 //往右边拓展一格
 return State << 1 | Last;
}
for (int i = 1; i <= N; ++i) {
  for (int j = 0; j <= (1 << K) - 1; ++j) {
  //如果前一状态的合法数为0，就没必要继续了
   if (dp[i - 1][j] == 0) {
    continue;
   }
   //枚举最右边添加0还是1
   for (int x = 0; x <= 1; ++x) {
   //将j往右拓展一格
    int&& CurState = getState(j, x);
    ///如果i的后K个字符往右移动一位组成了回文串，就跳过
    if (i >= K && IsPalindrome[K][CurState]) {
     continue;
    }
    //如果i的后K个字符加上x形成回文串，就跳过（为了防止K为偶数当前j长度为奇数的错误）
    if (i >= K + 1 && IsPalindrome[K + 1][j << 1 | x]) {
     continue;
    }
    //如果向右移动一位并且最右边为x时合法，累加方案数
    dp[i][CurState] += dp[i - 1][j];
    dp[i][CurState] %= mod;
   }
  }
 }

值得注意的是这一段代码：

    if (i >= K + 1 && IsPalindrome[K + 1][j << 1 | x]) {
     continue;
    }

如果当前j的状态为0010，xxx=0，则j往右一位变成0100，不是回文串，当是此时00100已经形成了回文串。因为回文串长度的奇偶有些差异，因此需要在向右判断一位。

AC代码：

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<map>
using namespace std;
constexpr static int inf = 0x3f3f3f3f;
constexpr static int mod = 1000000007;
int N, K;
int dp[401][(1 << 11) | 1];
bool IsPalindrome[12][(1 << 11) | 1]{ false };
//i=4 return 0110
int getBit(const int&i) {
	return (1 << i - 1) - 2;
}
void InitPalindrome() {
	IsPalindrome[1][0] = IsPalindrome[1][1] = true;
	IsPalindrome[2][0] = IsPalindrome[2][3] = true;
	for (int i = 3; i <= 11; ++i) {
		for (int j = 0; j <= (1 << i) - 1; ++j) {
			IsPalindrome[i][j] = IsPalindrome[i - 2][(j & getBit(i)) >> 1] && ((j >> i - 1) == (j & 1));
		}
	}
}
int getState(int State, int Last) {
	if (State >= 1 << K - 1) {
		State -= 1 << K - 1;
	}
	return State << 1 | Last;
}
int DP() {
	memset(dp, 0x0, sizeof(dp));
	dp[0][0] = 1;
	for (int i = 1; i <= N; ++i) {
		for (int j = 0; j <= (1 << K) - 1; ++j) {
			if (dp[i - 1][j] == 0) {
				continue;
			}
			for (int x = 0; x <= 1; ++x) {
				int&& CurState = getState(j, x);
				if (i >= K && IsPalindrome[K][CurState]) {
					continue;
				}
				if (i >= K + 1 && IsPalindrome[K + 1][j << 1 | x]) {
					continue;
				}
				dp[i][CurState] += dp[i - 1][j];
				dp[i][CurState] %= mod;
			}
		}
	}

	int&& Ans = 0;
	for (int i = 0; i <= (1 << K) - 1; ++i) {
		Ans = (Ans + dp[N][i]) % mod;
	}
	return Ans;
}
int main() {
	int T;
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin >> T;
	InitPalindrome();
	for (int Case = 1; Case <= T; ++Case) {
		cin >> N >> K;
		cout << DP() << endl;
	}
	return 0;
}