2022-11-13 Acwing每日一题

本系列所有题目均为Acwing课的内容，发表博客既是为了学习总结，加深自己的印象，同时也是为了以后回过头来看时，不会感叹虚度光阴罢了，因此如果出现错误，欢迎大家能够指出错误，我会认真改正的。同时也希望文章能够让你有所收获，与君共勉！

字典树

今天来学习字典树Trie，Trie树主要支持两个操作，一个是构建Trie时需要的插入操作Insert，另一个是查询操作query。

首先来看看什么是字典树Trie，标准的Trie树是字符串组成的，结点是每个字符。图片来自这里。

如果是数组来模拟Trie树，就是这样。

既然是树，那么必然存在一个根节点，只不过这里是虚拟节点root，由于小写字符总共有26个，因此总共有26个子节点。数组是这样定义的：son[p][u]，其中p可以认为Trie树的深度(从根节点开始算，root为-1层)，也可以理解为p服从某种顺序。u是该层所存储的东西，可以是数字也可以是字母(需要映射为数字)，而son[p][u]就可以理解为第p层上的字母u的下一层索引(，对于u来说其是固定的，如果存在该字符我们就可以直接使用并通过son[p][u]获得该字符下一层所对应的结点索引)，除此之外还有一个idx，它的作用类似一个线性表的在当前位置上的索引，具体作用看代码，这样对于每一个字符就得到了一个具体而准确的定位。

Trie的insert操作：

主要分两种情况，从0开始遍历层数，如果下一层存在该字符，就继续往下走，如果不存在就在下一层该字符处创建新的索引。

Trie的query操作：直接从根节点遍历Trie树，如果某一个字符存在就会自己往下走，否则不存在就可以直接返回。

这就是Trie树的主体，如果对于每个单词，我们想知道他们出现的次数，我们还可以定义cnt数组，来标记第p层存在单词，并且用来表示存在几个单词，而对于是否存在单词我们是在遍历过程中才能发现的，如果不存在某一个单词，那么遍历都不会完成，深度也不会达到p的。

代码表示

#include <iostream>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 100000,idx;
int son[N][26],cnt[N];
int n;

void insert(char* s){
	int p = 0;
	for(int i=0; s[i] ; ++i){
		int u = s[i] - 'a';
		if(!son[p][u])	son[p][u] = ++idx;
		// idx可以看成是深度所形成的线性表的下标，++idx在第一次循环就表示根节点在第0层，第一个结点在第一层
		p = son[p][u];	// 就是去下一层
	}
	cnt[p] ++;
}

int query(char *s){
	int p = 0;
	for(int i=0 ; s[i] ; ++i){
		int u = s[i] - 'a';
		if(!son[p][u])	return 0;
		p  = son[p][u];
	}
	return cnt[p];
}

int main()
{
    cin >> n;
    while (n -- ){
        char op[2];
        char s[N];
        scanf("%s%s",op,s);
        if(*op == 'I'){
            Insert(s);

        }
        else{
            cout << Query(s) << endl;;
        }
    }
    return 0;
}

最大异或对

在给定的 N 个整数 A1，A2……AN 中选出两个进行 xor（异或）运算，得到的结果最大是多少？

输入格式

第一行输入一个整数 N。

第二行输入 N 个整数 A1～AN。

输出格式

输出一个整数表示答案。

数据范围

1≤N≤105,

0≤Ai<231

输入样例：

3

1 2 3

输出样例：

3

算法原理

遇到题我们先思考暴力怎么求解，然后再针对每一步考虑使用合适的数据结构，对于最大异或对我们先考虑暴力双重循环，两两之间比较异或值，最后选出最大的，核心代码max(res,a[i]^a[j])(其中^是异或运算符)，但这个算法的时间复杂度太高，\(O(n^2)\)，因此我们需要思考怎么进行优化，我们发现最外层遍历每一个数字不能优化，内层我们需要找出外层固定的这个数字的最大异或值，那么我们就是要针对找到最大异或值这一部分进行优化。我们知道两个数字的异或运算就是对位相反取1，相同取0，如2：10，3：11，2^3：01。那么什么时候取最大值呢，我们发现当每一位都位1时所对应的数字是最大的，高位为1时的数字比低位为1时要更大，所以对位相反时进行异或结果是最大的，我们更希望每一位都相反，因此我们可以先寻找是否存在该数字的最大异或值，这时我们就可以使用Trie树进行寻找，先来看个图就理解为什么要用Trie树啦。图片来自这里



这样做的话找到的不就是该数组存储的所有数中最大的异或值了嘛。

代码实现

#include <iostream>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 3300000;
int son[N][2],a[N];	// 只有0和1两个数，因此是二叉树且默认所有结点的下一层都为第0层(即不存在下一层)
int idx;

void insert(int x){	// 插入x的每一位，形成异或树
	int p = 0;
	for(int i=30; i>=0 ; --i){
		int u =  x>>i & 1;	// 获得x的第i位
		if(!son[p][u]){
			son[p][u] = ++idx;
		}
		p = son[p][u];
	}
}

int search(int x){	// 查询x的最大异或数
	int p = 0;
	int ans = 0;	// 所有位默认为0
	for(int i=30; i>=0 ; --i){
		int u = x >> i & 1;	// 取出第i位
		// 判断是否存在对位，如果存在就往下走，否则就走另一个
		if(son[p][!u])	{// 存在对位，说明该位可以是最大的，因此该位为1
			ans += 1<<i;	// 把1向左移到第i位
			p = son[p][!u]; // 走的不是原来的位置，而是对位
		}
		else{	// 不存在对位，所以该位就是0
			p = son[p][u];	// ans为0说明当前该位默认为0，直接移到下一位
		}
	}
	return ans;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    int x;
    for(int i=0; i < n; ++i){
    	cin >> a[i];
		insert(a[i]);
	}
	int res= 0;
	for(int i=0; i<n ; ++i) // 找到每一个数的最大异或值，再找到所有的数的最大异或值
	{
		res = max(res,search(a[i]));
	}
	cout << res << endl;
	return 0;
}