CF1404D 题解

题意

传送门

给定 \(2n\) 个数 \(1,2,\dots,2n\)，A 和 B 进行交互，如下规则：

• A 需要将元素分成 \(n\) 组 \(\texttt{pair}\)；
• B 从每组 \(\texttt{pair}\) 中选择一个元素，如果权值和是 \(2n\) 的倍数则 B 胜，否则 A 胜。

你需要选择 AB 中的一者扮演角色，并取得胜利。

\(1\le n\le 5\times 10^5\)。

题解

构造题是一点都不会……如果省选的试场上出现一道较简单的构造，那真是亏大了。接下来多做点 CF 的构造吧。

若为 A，我们希望 B 的权值和在模 \(2n\) 意义下变化少一些。于是尝试这样的构造：\(i\) 与 \(i+n\)。那么权值和为 \(\frac{n(n+1)}{2}+kn=n(\frac{n+1}{2}+k)\)。则 \(n\) 为偶数时一定可以。接下来考虑 \(n\) 为奇数。

若为 B，若我们取的数在模 \(n\) 意义下为 \(0,1,\dots,n-1\)，则和为 \(\frac{n(n-1)}{2}+kn=n(\frac{n-1}{2}+k)\)。若后部为偶数，则得解；否则每组取另一个，和为 \(n(2n+1-\frac{n-1}{2}-k)\)，也得解。接下来考虑如何取数。

依次考虑 \(i\) 与 \(i+n\)。先取 \(i\)，若 \(i\) 与 \(i+n\) 同组，则变为一个子问题。否则不妨设 \(j\le n\) 与 \(i\) 同组，则 \(j\) 不取，\(j+n\) 必须取。类似匈牙利算法找增广路的过程，可以保证找到一组解。