Phi的反函数

P4780 Phi的反函数

Phi(\(\varphi\) )定义

\(\varphi(n)\) 代表从1-n所有与n互质的数的个数

求\(\varphi(n)\)

普通求法：

首先将n唯一分解为

\(n=x_1^{p_1}*x_2^{p_2}……*x_n^{p_n}\)

\(\varphi(n)=n*(1-\frac1{x_1})*(1-\frac1{x_2})*……*(1-\frac1{x_n})\)

证明：

首先我们考虑在所有数中有\(\frac{1}{x}\)的概率会取到一个数是x的倍数，那么有\((1-\frac{1}{x})\)的概率会取到一个数不是x的倍数，1-n有n个数，我们要找到1-n所有与n互质的数，也就是去一个不是n的任意一个因数(x1,x2,x3……xn)的倍数，就得到以上式子

两个定理：

\[1.\begin{cases}
\varphi(nm)=\varphi(n)*\varphi(m)~~~~~gcd(n,m)=1\\
\varphi(nm)=\varphi(n)*m~~~~~~~~~~~gcd(n,m)=m
\end{cases}
\]

定理1证明：

1.在gcd(n,m)=1情况下

根据上述式子可以推导：

\(n=x_1^{p_1}*x_2^{p_2}……*x_n^{p_n}\)

\(m=y_1^{q_1}*y_2^{q_2}……*y_n^{q_n}\)

\(n*m=x_1^{p_1}*x_2^{p_2}……*x_n^{p_n}*y_1^{q_1}*y_2^{q_2}……*y_n^{q_n}\)

\(\varphi(nm)=n*m*(1-\frac1{x_1})……*(1-\frac1{x_n})*(1-\frac1{y_1})……*(1-\frac1{y_n})=\varphi(n)*\varphi(m)~~~~~~~~~~~~gcd(n,m)=m\)

2.在gcd(n,m)=m情况下

考虑感性理解，1-n里面有\(\varphi(n)\)个与n互质，那么扩大m倍，相当于有m个1-n就直接乘(因为我们保证了\(gcd(n,m)=m\)也就是n是m的倍数,所以不存在乘上m后多出了不属于n的因子)

定理2.\(\varphi(n)=n-1~~~~~~~~~~~~~n\in prim\)（这显而易见）

我们需要求Phi的反函数就要先深刻理解上述内容然后进行运用

可以根据上述定理1得到：

（在这里我们用到了定理一第一类和定理一第二类的一种特殊情况\(\varphi(n*n)=\varphi(n)*n\)）

得出\(\varphi(x)=\varphi(a_1)*a_1^{p_1-1}*\varphi(a_2)*a_2^{p_2-1}*......\varphi(a_n)*a_n^{p_n-1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~a_i\in prime\)

由定理二得：\(a_i\)都是质数，所以\(\varphi(a_i)=a_i-1\)

所有质数分解出来不超过10个，因为\(2*3*5*7*11*13*17*19*23*29=6469693230\)

\(~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2^{31}=2147483648\)

所以可以直接暴力搜索

（关于判断是否为质数的函数）

因为数据范围在2^{31} ,如果我们求2^{31} 范围内的质数，直接爆炸，

其实我们只需要找出2^{16}的质数，每次判断一下当前这个数now+1(也就是\(revphi(now)\))是不是质数

例如\(\varphi(x)=n=\varphi(3)*varphi(1e9+7)\)

第一次找到\(\varphi(3)\)处理以后，由于我们只找了2^{16}的质数，我们找不到\(\varphi(1e9+7)\)在里面，我们需要每次判断当前这是数是不是质数。

具体的：

第一次判断\(\varphi(3)*varphi(1e9+7)\)显然不是质数

除以\(\varphi(3)\)后变成了\(\varphi(1e9+7)\) 也就是now=1e9+6

第二次判断\((now+1)\in prime\) 那么直接把质数给除了，直接结束了AWA

那么怎么得出答案呢

\[1.\begin{cases}
\varphi(nm)=\varphi(n)*\varphi(m)~~~~~gcd(n,m)=1\\
\varphi(nm)=\varphi(n)*m~~~~~~~~~~~gcd(n,m)=m
\end{cases}
\]

\(\varphi(x)=\varphi(a_1)*a_1^{p_1-1}*\varphi(a_2)*a_2^{p_2-1}*......\varphi(a_n)*a_n^{p_n-1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~a_i\in prime\)

我们再来重新看看这些式子

可以看出最后的\(ans=a_1*a_1^{p_1-1}*a_2*a_2^{p_2-1}*......*a_n*a_n^{p_n-1}\)

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e7+10;
int vis[N],s[30],tot=0,n,cnt=0;
ll ans=1e17+10,prim[N];
void shai(int x){
    for(int i=2;i<=x;i++){
        if(!vis[i]){
            prim[++tot]=i;
        }
        for(int j=1;j<=tot&&i*prim[j]<=x;j++){
            vis[prim[j]*i]=1;
            if(!i%prim[j]){
                break;
            }
        }
    }
}//质数筛
bool is_p(ll x){
    for(int i=2;i*i<=x;i++){
        if(x%i==0){
            //cout<<x<<i<<endl;
            return 0;
        }
    }
    return 1;
}//判断是否为质数
void dfs(int now,int id,ll rev){//id代表当前干过的质数，是个优化
    if(now>=ans) return ;//简单优化
    if(now==1){
        ans=min(rev,ans);
        return ;
    }
    if(is_p(now+1)) dfs(1,id+1,rev*(now+1));
    for(int i=id;i<=tot;i++){
        if(now%(prim[i]-1)==0){
            int a=now;
            ll b=rev;
            a/=(prim[i]-1);b*=prim[i]; //定理1的情况1
            dfs(a,i+1,b);
            while(a%prim[i]==0){//定理1的情况2
                a/=prim[i];b*=prim[i];
                dfs(a,i,b);
            }
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    shai(sqrt(n)+1);
    dfs(n,1,1);
    if(ans==1e17+10){//无解或者太大了
        printf("-1");
    }else printf("%lld",ans);
    return 0;
}