【LOJ】#2105. 「TJOI2015」概率论

题解

可以说是什么找规律好题了

但是要推生成函数，非常神奇……

任何的一切都可以用\(n^2\)dp说起

我们所求即是 所有树的叶子总数/所有树的方案数

我们可以列出一个递推式，设\(g(x)\)为\(x\)个节点构成的树的总数

那么有

\(g(n) = \sum_{i = 0}^{n - 1}g(i) * g(n - 1 - i)\)

很好理解，就是枚举左右子树的节点个数，拼出一个根节点

特殊是\(g(0) = 1\)

设\(f(x)\)为\(x\)个节点构成的树的叶子总数

\(f(n) = 2\sum_{i = 0}^{n - 1}f(i) * g(n - 1 - i)\)

就是用i个节点当左子树或者右子树，乘上另一子树的方案数，就是叶子被计入的次数

特殊的是\(f(1) = 1\)

哎？可是复杂度是\(n^2\)？怎么办？

我们用生成函数！

\(f(x) = \sum_{i = 0}^{+\infty}f(i)x^{i}\)

\(g(x) = \sum_{i = 0}^{+\infty}g(i)x^{i}\)

有什么用啊？难道可以分治FFT？

数据范围1e9啊……gg

由于\(g(x)\)和\(f(x)\)的递推都是卷积形式，我们尝试用卷积表示两个函数，可以得到两个方程

\(g(x) = g^{2}(x) + 1\)

\(f(x) = 2f(x)g(x) + x\)

后面的小尾巴是怎么来的？注意看我上面说的特殊点\(g(0) = 1\)和\(f(1) = 1\)

运用初中数学的一元二次方程解法，我们可以得到

\(g(x) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4x}}{2x}\)（为什么只取一个符号，等会看下面写的）

\(f(x) = \frac{x}{\sqrt{1-4x}}\)

解出来之后，发现这个东西十分的不优美，我们是生成函数哎？？为什么没有一个整数指数幂呢？我们需要的是对应指数幂前的系数啊

然后怎么办啊？

暴力泰勒展开

我们先求一下\(f(x)\)和\(g(x)\)的关系吧

根据敏锐的直觉我们发现

\(f(x)\)和\(g(x)\)一定是有关系的！

而且更神奇的是…………………………

………………………………………………

………………………………………………

\(\int \frac{f(x)}{x}dx = -\frac{1}{2}\sqrt{1 - 4x} + C= xg(x)\)

啥啥啥？我刚上幼儿园还不会导数不会积分呐qwqqqqq

你需要一本高中数学选修2-2！

我们知道微积分基本定理是，如果对于

\(f(x) = F'(x)\)

那么\(\int f(x) dx = F(x) + C\)

很好理解，就是，对于积分的变化率就是原来的函数嘛

同时，\(\frac{f(x)}{x} = \frac{1}{\sqrt{1-4x}}\)

我们需要找到一个函数的导数，正好是这个数\(\frac{1}{1-4x}\)

也就是\(F'(x) = \frac{1}{1-4x}\)

怎么找呢，先愉快换一波元

\(t = 1 - 4x\)

\(F'(x) = \frac{1}{\sqrt{t}}\)

噫，好！这个我会

\(F(x) = 2 t^{\frac{1}{2}}\)

……

所以这个\(F(x)\)里的\(x\)呢

把t换回去？？are you sure？

我们好好看看高中选修2-2

明确讲述了，如何求一个\(f(g(x))\)的导数

首先设\(u = g(x),y = f(x)\)

那么\(f(g(x)) = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}\)

那么就很明确了\(f(g(x)) = g'(x)f'(g(x))\)

现在的话，我们重新求一遍

发现\(F'(x) = -\frac{1}{2} \cdot (-4) \cdot \frac{1}{2} t^{-\frac{1}{2}}\)

那么\(F(x) = -\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2}} + C\)(C是常数，可以是任意大小）

哎？这个东西有点像……

\(xg(x) = \frac{1 - \sqrt{1-4x}}{2} = -\frac{\sqrt{1-4x}}{2} + \frac{1}{2}\)

妙啊

那么我们会发现，积分的导数就是原来的函数……即……

\(\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} xg(x) = \sum_{i = 0}^{+\infty} (i + 1) g(i)x^{i} = \frac{f(x)}{x}\)

那么\(f(x) = \sum_{i = 0}^{\infty} (i + 1)g(i)x^{i + 1}\)

\(f(n) = n g(n - 1)\)

好了，现在我们要求的东西就剩下\(g(x)\)了

让我们来暴力优雅的泰勒展开

\(h(x) = xg(x) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4x}}{2}\)

我们求一个\(\sqrt{1 + y}\)的导数

\(h^{(1)}(y) = \frac{1}{2} (1 + y)^{-\frac{1}{2}}\)

\(h^{(2)}(y) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - 1) (1 + y)^{-\frac{3}{2}}\)

\(h^{(k)}(y) = \prod_{i = 0}^{k - 1}(\frac{1}{2} - i) (1 + y)^{\frac{1}{2} - k}\)

然后在\(y = 0\)处展开

\(\sqrt{1 - 4x} = \sum_{i = 0}^{+\infty} \frac{\prod_{k = 0}^{i - 1} (\frac{1}{2} - k)}{k!} (-4x)^{k}\)

我们发现这些东西的系数都是负的，但是方案数是正整数，这就是为什么这个东西选择前面是负号而不是正号

设\(\begin{bmatrix}
\frac{1}{2}\\
k
\end{bmatrix} = \frac{\prod_{i = 0}^{k - 1} (\frac{1}{2} - i)}{k!}\)

那么

\(h(x) = \frac{1 - (1 + \sum_{k = 1}^{+\infty} \begin{bmatrix}\frac{1}{2}\\k \end{bmatrix} (-4x)^{k} )}{2}\)

我们除掉一个x

\(g(x) = \frac{-\sum_{k = 1}^{+\infty} \begin{bmatrix}\frac{1}{2}\\k \end{bmatrix} (-4)^{k}x^{k - 1}}{2}\)

我们对于第\(k\)项求一下系数

\(A_k = -\frac{\prod_{i = 0}^{k} (\frac{1}{2} - i) (-4)^{k + 1}}{2(k + 1)!}\)

\(A_k = \frac{(-1)^{k + 2} 2^{2k + 1} \prod_{i = 0}^{k} (\frac{1}{2} - i)}{(k + 1)!}\)

我们把-1的指数减掉2，分配给每个乘积里的数，然后把2分配进乘积里

\(A_k = \frac{2^{k} \prod_{i = 1}^{k} (2i - 1)}{(k + 1)!}\)

\(A_k = \frac{\prod_{i = 1}^{k}(2i - 1) \prod_{i = 1}^{k}2i}{k!(k + 1)!}\)

\(A_k = \frac{1}{k + 1} \binom{2k}{k}\)

而\(\binom{2k}{k}\)就是我们很熟悉的卡特兰数了

这样的话

我们只要

固输\(\frac{n(n + 1)}{2(2n - 1)}\)就可以得满分了。

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <set>
#include <cmath>
#include <bitset>
#include <queue>
#define enter putchar('\n')
#define space putchar(' ')
//#define ivorysi
#define pb push_back
#define mo 974711
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define MAXN 100005
#define eps 1e-12
using namespace std;
typedef long long int64;
typedef double db;
template<class T>
void read(T &res) {
    res = 0;char c = getchar();T f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {
	if(c == '-') f = -1;
	c = getchar();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9') {
	res = res * 10 - '0' + c;
	c = getchar();
    }
    res = res * f;
}
template<class T>
void out(T x) {
    if(x < 0) {x = -x;putchar('-');}
    if(x >= 10) out(x / 10);
    putchar('0' + x % 10);
}
db N;
void Solve() {
    scanf("%lf",&N);
    N = N * (N + 1) / (2 * (2 * N - 1));
    printf("%.9lf",N);
}
int main() {
#ifdef ivorysi
    freopen("f1.in","r",stdin);
#endif
    Solve();
}