BZOJ 2115: [Wc2011] Xor

2115: [Wc2011] Xor

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Description

Input

第一行包含两个整数N和 M，
表示该无向图中点的数目与边的数目。接下来M 行描述 M 条边，每行三个整数Si，Ti ，Di，表示 Si 与Ti之间存在一条权值为 Di的无向边。
图中可能有重边或自环。

Output

仅包含一个整数，表示最大的XOR和（十进制结果）,注意输出后加换行回车。

Sample Input

5 7
1 2 2
1 3 2
2 4 1
2 5 1
4 5 3
5 3 4
4 3 2

Sample Output

HINT

Source

【题解】：

　　这道题要求从1到n的最大xor和路径，存在重边，允许经过重复点、重复边。那么在图上作图尝试之后就会发现，路径一定是由许多的环和一条从1到n的路径组成。容易发现，来回走是没有任何意义的，因为来回走意味着抵消。考虑这道题求得是路径xor和最大，所以必然我们要想办法处理环的情况。我的做法是任意地先找出一条从1到n的路径，把这条路径上的xor和作为ans初值（先不管为什么可行），然后我们的任务就变成了求若干个环与这个ans初值所能组合成的xor最大值。显然，我们需要预处理出图上所有的环，并处理出所有环的环上xor值，这当然是dfs寻找，到n的路径的时候顺便求一下就可以了。

　　当我们得到了若干个环的xor值之后，因为是要求xor最大值，我们就可以构出这所有xor值的线性基。构出之后，再用ans在线性基上取max就可以了。

　　现在我们来讨论上述做法的可行性。

　　第一种情况：我们对最终答案产生贡献的某个环离1到n的主路径很远，这样的话，因为至少可以保证1可以到达这个环，那么我们可以走到这个环之后绕环一周之后原路返回，这样从1走到环的路上这一段被重复经过所以无效，但是环上的xor值被我们得到了，所以我们并不关心这个环和主路径的关系，我们只关心环的权值。

　　第二种情况：我们任意选取的到n的路径是否能保证最优性。假设存在一条更优的路径从1到n，那么这条路径与我们原来的路径构成了一个环，也就会被纳入线性基中，也会被计算贡献，假如这个环会被经过，那么最后的情况相当于是走了两遍原来选取的路径，抵消之后走了一次这个最优路径，所以我们无论选取的是哪条路径作为ans初值，都可以通过与更优情况构成环，然后得到一样的结果。这一证明可以拓展到路径上的任意点的路径选取。

　　这样我们就可以完美解决了。我第一次WA了一发，因为我没有考虑到ans初值不为0，在线性基上取到xor的max的时候，不能单纯以ans这一位是否为0来决定是否异或上基的这一位，必须要看异或之后取一个max做一个判断才行。

题解转自：http://www.cnblogs.com/ljh2000-jump/p/5869991.html

【代码】：

#include<cstdio>

#include<iostream>

using namespace std;

typedef long long ll;

ll read(){

    ll x=;char ch=getchar();

    while(ch<''||ch>'') ch=getchar();

    while(ch>=''&&ch<=''){x=x*+ch-'';ch=getchar();}

    return x;

}

const int N=5e4+;

struct node{

    int v,next;

    ll w;

}e[N<<];

int n,m,head[N],tot,cir,cnt;

ll bin[],dis[N],w[N*];

bool vis[N];

void add(int x,int y,ll z){

    e[++tot].v=y;e[tot].w=z;e[tot].next=head[x];head[x]=tot;

    e[++tot].v=x;e[tot].w=z;e[tot].next=head[y];head[y]=tot;

}

void dfs(int x){

    vis[x]=;

    for(int i=head[x];i;i=e[i].next){

        int v=e[i].v;

        if(!vis[v]){

            dis[v]=dis[x]^e[i].w;

            dfs(v);

        }

        else w[++cir]=dis[v]^dis[x]^e[i].w;

    }

}

void Gauss(){

    for(ll i=bin[];i;i>>=){

        int j=cnt+;

        for(;j<=cir&&!(w[j]&i);j++);

        if(j==cir+) continue;

        cnt++;

        swap(w[cnt],w[j]);

        for(int k=;k<=cir;k++){

            if(k!=cnt&&(w[k]&i)){

                w[k]^=w[cnt];

            }

        }

    }

}

int main(){

    bin[]=;for(int i=;i<=;i++) bin[i]=bin[i-]<<;

    n=read();m=read();

    for(int i=;i<=m;i++){

        int u=read(),v=read();

        ll w=read();

        add(u,v,w);

    }

    dfs();Gauss();

    ll ans=dis[n];

    for(int i=;i<=cnt;i++) ans=max(ans,ans^w[i]);

    printf("%lld",ans);

     return ;

}