Miller_Rabin素数测试【学习笔记】

引语：在数论中，对于素数的研究一直就很多，素数测试的方法也是非常多，如埃式筛法，6N±1法，或者直接暴力判（试除法）。但是如果要判断比较大的数是否为素数，那么传统的试除法和筛法都不再适用。所以我们需要学习Miller_Rabin算法。

知识准备 + 算法推导：

1.威尔逊定理：若p是素数，则 (p-1) !≡ -1(mod p).

2.有趣的是，威尔逊定理的逆命题也是正确的：设n是正整数且 n ≥ 2 ，若 (n-1) !≡ -1(mod n)，则n 是素数.

很多朋友可能在学习的时候会碰到威尔逊定理，它主要是告诉我们，它的逆定理给出了一种素性检验的方法（其实用的少，原因在后），遗憾的是，这不是一个实用的检验法，因为这需要进行(n-2)次模n的乘法运算才能得到 (n-1)! 模n的值，运算量达到了O( n(log₂n)² ) 次位运算。

行吧，那我们只能另谋出路了。

3.费马小定理：设p 是一个素数，a是一个正整数且p不整除a ，则 a^p-1 ≡ 1(mod p).

4.伪素数：令b是一个正整数. 若n是一个正合数且 bⁿ ≡ b(mod n)，则称n为以b为基的伪素数（有时也称费马伪素数）。（唉~，这是虚伪的素数，它爱着费马测试，却是合数）。

辣个男人，它来了！

那么基于费马小定理，Miller检验：假如n是素数，且gcd(a,n) = 1，那么 a^n-1 ≡ 1(mod n).如果 a^n-1 ≡ 1(mod n)(a为任意小于n的正整数)，则可近似认为n是素数。取多个底进行试验，次数越多，n为素数的概率越大。

5.【重头戏】卡迈尔数：一个合数 n 若对所有满足 gcd(b, n) = 1 的正整数b都有 b^n-1 ≡ 1(mod n)成立，则称为卡迈尔(Carmichael)数或者称为绝对伪素数（不得不服，6601）。

6.二次探测定理：如果p是一个素数，且 0 < x < p，则方程 x²%p = 1的解为 x = 1 或 x = p - 1.

辣个男人，它又来了！

既然有卡迈尔数的存在，那么需要排除卡迈尔数，可以根据二次定理，在利用费马小定理计算 b^n-1%n 的过程中增加对整数n的二次探测，一旦发现违背二次探测条件，即得出n不是素数的结论。

这里，令 n - 1 = 2^rs，其中s是一个奇数，随机选择一个a， 1 ≤ a ≤ n-1 ，如果  a^2s ≡ 1(mod n) 并且 a^s ≡ 1 (mod n) 或 a^s ≡ (n-1) (mod n)，则通过了测试，但如果后面的测试，在a的指数不断乘2的过程中，如果出现没有通过测试，则不是素数。如果取了几次底a，都通过了测试，那么我们就可以接近100%的认为n是素数。

代码：

#define LL long long
//这里可以采用随机数，我用的是准备好的基数
const int Test[] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19};
const int Times = 8;　　//可以调整

LL Multi(LL a, LL b, LL mod)
{
    LL ans = 0;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ans = (ans + a)%mod;
        }
        a = (a+a)%mod;  //要这么写
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

LL Pow(LL a, LL b, LL mod)
{
    LL ans = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ans = Multi(ans, a, mod);
        }
        b>>=1;
        a = Multi(a, a, mod);
    }
    return ans;
}

bool Miller_Rabin(LL n)
{
    if(n < 2)  return false;
    LL s = n-1, t = 0;
    while( !(s&1) )
    {
        t++;
        s>>=1;
    }
    for(int i = 0; i < Times; i++)
    {
        if(n == Test[i])
            return true;
        LL x = Pow(Test[i], s, n);
        LL next = x;
        for(int j = 0; j < t; j++)
        {
            next = Multi(x, x, n);
            if(next == 1 && x != 1 && x != n-1)
                return false;
            x = next;
        }
        if(x != 1)
            return false;
    }
    return true;
}