【bzoj4129】Haruna’s Breakfast 带修改树上莫队+分块

题目描述

给出一棵树，点有点权。支持两种操作：修改一个点的点权，查询链上mex。

输入

第一行包括两个整数n，m，代表树上的结点数(标号为1~n)和操作数。
第二行包括n个整数a1...an，代表每个结点的食材初始的美味度。
接下来n-1行，每行包括两个整数u，v，代表树上的一条边。
接下来m行，每行包括三个整数
0 u x 代表将结点u的食材的美味度修改为 x。
1 u v 代表询问以u，v 为端点的链的mex值。

输出

对于每次询问，输出该链的mex值。

样例输入

10 10
1 0 1 0 2 4 4 0 1 0
1 2
2 3
2 4
2 5
1 6
6 7
2 8
3 9
9 10
0 7 14
1 6 6
0 4 9
1 2 2
1 1 8
1 8 3
0 10 9
1 3 5
0 10 0
0 7 7

样例输出

0
1
2
2
3

---

题解

带修改树上莫队+分块

本题如果在链上并且不带修改的话就是 mex / Rmq Problem ，可以使用莫队算法+分块实现。

那么如果带单点修改并出到树上，则需要莫队算法的 带修改进化版+树上进化版 。带修改树上莫队的具体方法可以参考 糖果公园 。

于是直接树分块，按照左端点所在块、右端点所在块、时间（询问之前的修改次数）排序，暴力移动三个指针即可。显然大于n的权值可以看成n，于是对权值分块，对每个块维护块内有多少数出现过。查询时先查询块在找块内。

时间复杂度$O(n^{\frac 53})$

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 50010
using namespace std;
const int si = 2000 , sq = 200;
int a[N] , head[N] , to[N << 1] , next[N << 1] , cnt , fa[N][17] , deep[N] , log[N] , tot , sta[N] , top , bl[N] , num;
int cp[N] , ca[N] , cb[N] , vis[N] , buc[N] , sum[310] , ans[N];
struct data
{
	int u , v , t , id;
	bool operator<(const data &a)const {return bl[u] == bl[a.u] ? bl[v] == bl[a.v] ? t < a.t : bl[v] < bl[a.v] : bl[u] < bl[a.u];}
}q[N];
inline void add(int x , int y)
{
	to[++cnt] = y , next[cnt] = head[x] , head[x] = cnt;
}
void dfs(int x)
{
	int i , now = top;
	for(i = 1 ; (1 << i) <= deep[x] ; i ++ ) fa[x][i] = fa[fa[x][i - 1]][i - 1];
	for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
	{
		if(to[i] != fa[x][0])
		{
			fa[to[i]][0] = x , deep[to[i]] = deep[x] + 1 , dfs(to[i]);
			if(top - now >= si)
			{
				num ++ ;
				while(top != now) bl[sta[top -- ]] = num;
			}
		}
	}
	sta[++top] = x;
}
inline int lca(int x , int y)
{
	int i;
	if(deep[x] < deep[y]) swap(x , y);
	for(i = log[deep[x] - deep[y]] ; ~i ; i -- )
		if((1 << i) <= deep[x] - deep[y])
			x = fa[x][i];
	if(x == y) return x;
	for(i = log[deep[x]] ; ~i ; i -- )
		if((1 << i) <= deep[x] && fa[x][i] != fa[y][i])
			x = fa[x][i] , y = fa[y][i];
	return fa[x][0];
}
inline void ins(int x)
{
	sum[x / sq] += !buc[x] , buc[x] ++ ;
}
inline void del(int x)
{
	buc[x] -- , sum[x / sq] -= !buc[x];
}
inline void rev(int x)
{
	if(!vis[x]) ins(a[x]);
	else del(a[x]);
	vis[x] ^= 1;
}
int main()
{
	int n , m , i , j , opt , x , y , un = 1 , vn = 1 , cn = 0;
	scanf("%d%d" , &n , &m);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d" , &a[i]) , a[i] = min(a[i] , n);
	for(i = 2 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d%d" , &x , &y) , add(x , y) , add(y , x) , log[i] = log[i >> 1] + 1;
	dfs(1);
	while(top) bl[sta[top -- ]] = num;
	for(i = 1 ; i <= m ; i ++ )
	{
		scanf("%d%d%d" , &opt , &x , &y);
		if(opt) q[i - cn].u = x , q[i - cn].v = y , q[i - cn].t = cn , q[i - cn].id = i - cn;
		else y = min(y , n) , cp[++cn] = x , ca[cn] = a[x] , cb[cn] = a[x] = y;
	}
	m -= cn , sort(q + 1 , q + m + 1);
	for(i = 1 ; i <= m ; i ++ )
	{
		x = lca(un , q[i].u);
		for(j = un ; j != x ; j = fa[j][0]) rev(j);
		for(j = q[i].u ; j != x ; j = fa[j][0]) rev(j);
		un = q[i].u;
		x = lca(vn , q[i].v);
		for(j = vn ; j != x ; j = fa[j][0]) rev(j);
		for(j = q[i].v ; j != x ; j = fa[j][0]) rev(j);
		vn = q[i].v;
		while(cn < q[i].t)
		{
			cn ++ , a[cp[cn]] = cb[cn];
			if(vis[cp[cn]]) del(ca[cn]) , ins(cb[cn]);
		}
		while(cn > q[i].t)
		{
			if(vis[cp[cn]]) del(cb[cn]) , ins(ca[cn]);
			a[cp[cn]] = ca[cn] , cn --;
		}
		x = lca(un , vn) , rev(x);
		for(j = 0 ; sum[j] == sq ; j ++ );
		for(j *= sq ; buc[j] ; j ++ );
		ans[q[i].id] = j , rev(x);
	}
	for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) printf("%d\n" , ans[i]);
	return 0;
}