BZOJ 4527: K-D-Sequence

4527: K-D-Sequence

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Description

我们称一个数列为一个好的k-d数列，当且仅当我们在其中加上最多k个

数之后，数列排序后为一个公差为d的等差数列。

你手上有一个由n个整数组成的数列a。你的任务是找到它的最长连续子

串，使得满足子串为好的k-d数列。

Input

第一行包含三个用空格隔开的整数n,k,d（1<=n<=2*10^5;0<=k<=

2*10^5;0<=d<=10^9）。第二行包含n个空格隔开的整数：a1,a2,...,an（-10^9<=ai<=10^9）表示数列a。

Output

输出两个用空格隔开的整数L,r（1<=L<=r<=n），表示数列a_L,a_L+1,...,

ar是好k-d数列的子串中最长的。

如果有多个最优答案，输出那个L值最小的。

 

Sample Input

6 1 2
4 3 2 8 6 2

Sample Output

3 5
//第一个测试样例的答案为包括数字 2，8，6 的子串——在加入数字 4 并且
排序之后，它变成了数列 2，4，6，8——公差为 2 的等差数列。

HINT

Source

分析：

考虑如果一个数列可以成为等差数列，其必要条件是任意$a[i]$%$d$都是相等的，也就是说，我们要找出连续的最长一段同余子串，使得其满足可以成为等差数列...

接的我们发现，可以把公差为$d$转化为公差为$1$，也就是满足$max(\frac{a[i]}{d})-min(\frac{a[i]}{d})+1-(j-i+1)<=k$，感觉还是很好理解的...

所以我们考虑枚举子串的右端点，然后找到最靠左的满足要求的点，发现我们可以用线段树来维护信息，维护三个值，$Min$代表的是最小的$min+l$，$Max$代表的是最小的$max+l$，$Sum$代表的是最小的$min+max+l$，然后我们每把右端点右移一位，就把当前的点影响的区间修改...

代码：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<map>
//by NeighThorn
#define inf 2e9+7
using namespace std;

const int maxn=200000+5;

int n,k,d,top,ans,ansl,ansr,a[maxn],b[maxn],c[maxn],pre[maxn],stk[maxn],lmax[maxn],lmin[maxn];

map<int,int> mp;

struct M{

	int l,r;
	long long Min,Max,Sum,tagMax,tagMin;	

	inline void init(void){
		Min=Max=Sum=tagMin=tagMax=inf;
	}

}tree[maxn<<2];

inline void pushdown(int tr,int l,int r,int mid){
	int val;
	if(tree[tr].tagMax!=inf)
		val=tree[tr].tagMax,
		tree[tr<<1].Max=val+l,
		tree[tr<<1].tagMax=val,
		tree[tr<<1].Sum=val+tree[tr<<1].Min,
		tree[tr<<1|1].Max=val+mid+1,
		tree[tr<<1|1].tagMax=val,
		tree[tr<<1|1].Sum=val+tree[tr<<1|1].Min,
		tree[tr].tagMax=inf;
	if(tree[tr].tagMin!=inf)
		val=tree[tr].tagMin,
		tree[tr<<1].tagMin=val,
		tree[tr<<1].Min=-val+l,
		tree[tr<<1].Sum=-val+tree[tr<<1].Max,
		tree[tr<<1|1].tagMin=val,
		tree[tr<<1|1].Min=-val+mid+1,
		tree[tr<<1|1].Sum=-val+tree[tr<<1|1].Max,
		tree[tr].tagMin=inf;
}

inline void update(int tr){
	tree[tr].Min=min(tree[tr<<1].Min,tree[tr<<1|1].Min);
	tree[tr].Max=min(tree[tr<<1].Max,tree[tr<<1|1].Max);
	tree[tr].Sum=min(tree[tr<<1].Sum,tree[tr<<1|1].Sum);
}

inline void build(int l,int r,int tr){
	tree[tr].l=l,tree[tr].r=r,tree[tr].init();
	if(l==r){
		tree[tr].Max=c[l]+l,tree[tr].Min=-c[l]+l,tree[tr].Sum=l;
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(l,mid,tr<<1);build(mid+1,r,tr<<1|1);
	update(tr);
}

inline void change(int l,int r,int id,int val,int tr){
	if(tree[tr].l==l&&tree[tr].r==r){
		if(id==0) tree[tr].tagMax=val,tree[tr].Max=val+tree[tr].l,tree[tr].Sum=tree[tr].Min+val;
		if(id==1) tree[tr].tagMin=val,tree[tr].Min=-val+tree[tr].l,tree[tr].Sum=tree[tr].Max-val;
		return;
	}
	int mid=(tree[tr].l+tree[tr].r)>>1;
	pushdown(tr,tree[tr].l,tree[tr].r,mid);
	if(r<=mid)
		change(l,r,id,val,tr<<1);
	else if(l>mid)
		change(l,r,id,val,tr<<1|1);
	else
		change(l,mid,id,val,tr<<1),change(mid+1,r,id,val,tr<<1|1);
	update(tr);
}

inline int find(int tr,int val){
	if(tree[tr].Sum>val) return n+1;
	if(tree[tr].l==tree[tr].r) return tree[tr].l;
	pushdown(tr,tree[tr].l,tree[tr].r,tree[tr].l+tree[tr].r>>1);
	if(val>=tree[tr<<1].Sum) return find(tr<<1,val);
	return find(tr<<1|1,val);
}

inline int query(int l,int r,int tr,int val){
	if(tree[tr].l==l&&tree[tr].r==r) return find(tr,val);
	int mid=(tree[tr].l+tree[tr].r)>>1;
	pushdown(tr,tree[tr].l,tree[tr].r,mid);
	if(r<=mid) return query(l,r,tr<<1,val);
	else if(l>mid) return query(l,r,tr<<1|1,val);
	else{
		int lala=query(l,mid,tr<<1,val);
		if(lala==n+1)
			return query(mid+1,r,tr<<1|1,val);
		return lala;
	}
}

inline void solve(void){
	for(int i=1,j;i<=n;i=j+1){
		for(j=i;j<n&&a[j]==a[j+1];j++);
		if(j-i+1>ans) ans=j-i+1,ansl=i,ansr=j;
	}
	printf("%d %d\n",ansl,ansr);
}

signed main(void){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
	scanf("%d%d%d",&n,&k,&d);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]+=1e9;ans=ansl=ansr=1;
	if(d==0) return solve(),0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(mp.find(a[i])==mp.end()) mp[a[i]]=i,pre[i]=0;
		else pre[i]=mp[a[i]],mp[a[i]]=i;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=a[i]%d,c[i]=a[i]/d;
	build(1,n,1);
	for(int i=n;i>=1;i--){
		while(top&&c[stk[top]]>=c[i]) lmin[stk[top--]]=i;
		stk[++top]=i;
	}
	while(top) lmin[stk[top--]]=0;
	for(int i=n;i>=1;i--){
		while(top&&c[stk[top]]<=c[i]) lmax[stk[top--]]=i;
		stk[++top]=i;
	}
	while(top) lmax[stk[top--]]=0;
	for(int i=1,j;i<=n;i=j+1){
		for(j=i;j<n&&b[j]==b[j+1];j++);
		for(int t=i,tmp;t<=j;t++){
			if(pre[t]>=i){
				j=pre[t];
				break;
			}
			change(max(i,lmax[t]+1),t,0,c[t],1),
			change(max(i,lmin[t]+1),t,1,c[t],1);
			tmp=query(i,t,1,k+t);
			if(t-tmp+1>ans) ans=t-tmp+1,ansl=tmp,ansr=t;
		}
	}
	printf("%d %d\n",ansl,ansr);
	return 0;
}

　　

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By NeighThorn