$bzoj1009-HNOI2008$ $GT$考试 字符串$dp$ 矩阵快速幂

• 题面描述

  • 阿申准备报名参加\(GT\)考试，准考证号为\(N\)位数\(x_1,x_2,...,x_n\ (0\leq x_i\leq 9)\)，他不希望准考证号上出现不吉利的数字。
    
    他的不吉利数字\(a_1,a_2,...,a_m\ (0\leq a_i\leq 9)\)有\(M\)位，不出现是指\(x_1,x_2,...,x_n\)中没有恰好一段等于\(a_1,a_2,...,a_m\)。 \(a_1\)和\(x_1\)可以为\(0\)

• 输入格式

  • 第一行输入\(N,M,K\)。接下来一行输入\(M\)位的数。 \(N\leq 10^9,M\leq 20,K\leq 1000\)

• 输出格式

  • 阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种，输出模\(K\)取余的结果。

• 题解

  • 首先，看到题意是在一定条件下统计 位数\(\leq N\)的数 的个数，第一反应数位\(dp\)。题目对要统计的数的要求是 这个数不能与模式串（不吉利数字）匹配。我们回忆\(KMP\)过程，当原串与模式串在某一位失配时，我们将模式串指针\(x\)通过\(next_x\)不断回跳，直到能够与原串匹配。

  • 类似的，当我们按照数位\(dp\)的阶段，在后面加上\(0-9\)中的数字\(x\)时，我们同样通过\(next_x\)匹配，再在尾部加上数字\(x\)。

  • 因此我们可以设计出这样的\(dp\)方程。令\(f_{i,j}\)表示前\(i\)位匹配到模式串的第\(j\)位的方案数，令\(pre_{i,0..9}\)表示通过\(next_i\)对于在第\(i\)位后加上数字\(0\leq x\leq 9\)匹配到模式串的第\(pre_{i,x}\)位。

  • \[f_{i,pre_{j,x}}+=f_{i-1,j}\ (0\leq j<m,0\leq x\leq 9)
    \]

  • 这样我们得到了一个时间复杂度为\(O(nm)\)的优秀算法。

  • 再看一眼范围\(n\leq 10^9\)！！这样我们就只能用加速线性递推式的神器矩阵快速幂。将递推式写成矩阵的形式，用矩阵快速幂.....（感觉根本不会讲）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=25;
int n,m,mod;
int a[MAXN];
int nxt[MAXN];
struct rec{
	int a[MAXN][MAXN];
	rec(){
		for (int i=0;i<=m;i++){
			for (int j=0;j<=m;j++) a[i][j]=0;
		}
	}
} A;
rec mul(rec a,rec b){
	rec c;
	for (int k=0;k<=m;k++){
		for (int i=0;i<=m;i++){
			for (int j=0;j<=m;j++){
				c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
			}
		}
	}
	return c;
}
rec mod_pow(rec a,int n){
	rec ans=a; n--;
	while (n){
		if (n&1) ans=mul(ans,a);
		a=mul(a,a);
		n>>=1;
	}
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&mod);
	for (int i=1;i<=m;i++){
		char c=getchar(); while (c<'0'||c>'9') c=getchar();
		a[i]=c-'0';
	}
//	cout<<"done"<<endl;
	nxt[1]=0;
	for (int i=2;i<=m;i++){
		int pre=nxt[i-1];
		while (pre>0&&a[pre+1]!=a[i]) pre=nxt[pre];
		if (a[pre+1]==a[i]) pre++;
		nxt[i]=pre;
	}
//	cout<<"done"<<endl;
	for (int i=0;i<m;i++){
		for (int j=0;j<=9;j++){
//			cout<<i<<" "<<j<<endl;
			int pre=i;
			while (pre>0&&a[pre+1]!=j) pre=nxt[pre];
			if (a[pre+1]==j) pre++;
			if (pre!=m) A.a[pre][i]=(A.a[pre][i]+1)%mod;
		}
	}
//	cout<<"done"<<endl;
	A=mod_pow(A,n);
	int ans=0;
	for (int i=0;i<m;i++) ans=(ans+A.a[i][0])%mod;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

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