JoyOI1940 创世纪

一道基环树+树形\(DP\)

原题链接

显然输入的是内向基环树森林，且我们可以单独考虑每一棵基环树。

既然是基环树，自然先\(dfs\)找环，然后随便找环上的一点\(r\)，将其与\(A[r]\)的边断开，建反边，这时就会形成一棵以\(r\)为根的树，且每个点的子节点都是能限制它的元素。

于是我们可以在这棵树上跑树形\(DP\)。

定义\(f[x][0]\)表示不投放元素\(x\)的时候，以\(x\)为根的子树中能投放元素的最大值；\(f[x][1]\)表示投放元素\(x\)的时候，以\(x\)为根的子树中能投放元素的最大值。

1. 不投放\(x\)时，它的子节点可以投放，也可以不投放。

\(\qquad\qquad f[x][0]=\sum\limits_{A[y]=x}\max\{f[y][0],f[y][1]\}\)

1. 投放\(x\)时，至少有一个子节点是不投放的，以限制\(x\)。

\(\qquad\qquad f[x][1]=\max\limits_{A[y]=x}\{f[y][0]+\sum\limits_{A[z]=y,z\ne y}\max\{f[z][0],f[z][1]\}\}\)

\(DP\)完成后，用\(\max\{f[r][0],f[r][1]\}\)来更新答案。

然后考虑断边的影响，即导致\(r\)无法限制\(A[r]\)，所以我们强制令\(r\)限制\(A[r]\)，然后再进行一遍树形\(DP\)。当\(DP\)中计算\(f[A[r]][1]\)时，其子节点可以投放，也可以不投放，因为\(A[r]\)已经被\(r\)限制，所以不需要再有子节点限制它，而对于其它点的转移方程依旧不变。最后再用\(f[r][0]\)去更新答案，因为我们强制让\(r\)去限制\(A[r]\)，所以\(r\)不能被投放。

注意这题使用普通的递归会\(MLE\)，所以要打手工栈。

#include<cstdio>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int fi[N], di[N << 1], ne[N << 1], a[N], f[N][2], st_x[N], st_i[N], st_y[N], st_s[N], cb, l;
bool v[N];
inline int re()
{
	int x = 0;
	char c = getchar();
	bool p = 0;
	for (; c<'0' || c>'9'; c = getchar())
		p |= c == '-';
	for (; c >= '0'&&c <= '9'; c = getchar())
		x = x * 10 + (c - '0');
	return p ? -x : x;
}
inline void add(int x, int y)
{
	di[++l] = y;
	ne[l] = fi[x];
	fi[x] = y;
}
inline int maxn(int x, int y)
{
	return x > y ? x : y;
}
void dfs(int x)
{
	int y;
	v[x] = 1;
	for (y = a[x]; y; y = a[y])
	{
		if (v[y])
		{
			cb = y;
			return;
		}
		v[y] = 1;
	}
}
void dp(int x)
{
	int k = 1;
	st_x[1] = x;
start:
	st_s[k] = 0;
	v[st_x[k]] = 1;
	f[st_x[k]][0] = f[st_x[k]][1] = 0;
	for (st_i[k] = fi[st_x[k]]; st_i[k]; st_i[k] = ne[st_i[k]])
	{
		st_y[k] = di[st_i[k]];
		if (st_y[k] ^ cb)
		{
			st_x[k + 1] = st_y[k];
			k++;
			goto start;
		end:
			st_s[k] += maxn(f[st_y[k]][0], f[st_y[k]][1]);
		}
	}
	f[st_x[k]][0] = st_s[k];
	for (st_i[k] = fi[st_x[k]]; st_i[k]; st_i[k] = ne[st_i[k]])
	{
		st_y[k] = di[st_i[k]];
		if (st_y[k] ^ cb)
			f[st_x[k]][1] = maxn(f[st_x[k]][1], 1 + st_s[k] - maxn(f[st_y[k]][0], f[st_y[k]][1]) + f[st_y[k]][0]);
	}
	if (--k)
		goto end;
}
void dp_2(int x)
{
	int k = 1;
	st_x[1] = x;
start:
	st_s[k] = 0;
	f[st_x[k]][0] = f[st_x[k]][1] = 0;
	for (st_i[k] = fi[st_x[k]]; st_i[k]; st_i[k] = ne[st_i[k]])
	{
		st_y[k] = di[st_i[k]];
		if (st_y[k] ^ cb)
		{
			st_x[k + 1] = st_y[k];
			k++;
			goto start;
		end:
			st_s[k] += maxn(f[st_y[k]][0], f[st_y[k]][1]);
		}
	}
	f[st_x[k]][0] = st_s[k];
	if (!(st_x[k] ^ a[cb]))
	{
		f[st_x[k]][1] = st_s[k] + 1;
		if (--k)
			goto end;
		return;
	}
	for (st_i[k] = fi[st_x[k]]; st_i[k]; st_i[k] = ne[st_i[k]])
	{
		st_y[k] = di[st_i[k]];
		if (st_y[k] ^ cb)
			f[st_x[k]][1] = maxn(f[st_x[k]][1], 1 + st_s[k] - maxn(f[st_y[k]][0], f[st_y[k]][1]) + f[st_y[k]][0]);
	}
	if (--k)
		goto end;
}
int main()
{
	int i, n, ma, s = 0;
	n = re();
	for (i = 1; i <= n; i++)
	{
		a[i] = re();
		add(a[i], i);
	}
	for (i = 1; i <= n; i++)
		if (!v[i])
		{
			ma = 0;
			dfs(i);
			dp(cb);
			ma = maxn(f[cb][0], f[cb][1]);
			dp_2(cb);
			ma = maxn(ma, f[cb][0]);
			s += ma;
		}
	printf("%d", s);
	return 0;
}