BZOJ 1690: [Usaco2007 Dec]奶牛的旅行

Description

作为对奶牛们辛勤工作的回报，Farmer John决定带她们去附近的大城市玩一天。旅行的前夜，奶牛们在兴奋地讨论如何最好地享受这难得的闲暇。很幸运地，奶牛们找到了一张详细的城市地图，上面标注了城市中所有L(2 <= L <= 1000)座标志性建筑物（建筑物按1..L顺次编号），以及连接这些建筑物的P(2 <= P <= 5000)条道路。按照计划，那天早上Farmer John会开车将奶牛们送到某个她们指定的建筑物旁边，等奶牛们完成她们的整个旅行并回到出发点后，将她们接回农场。由于大城市中总是寸土寸金，所有的道路都很窄，政府不得不把它们都设定为通行方向固定的单行道。尽管参观那些标志性建筑物的确很有意思，但如果你认为奶牛们同样享受穿行于大城市的车流中的话，你就大错特错了。与参观景点相反，奶牛们把走路定义为无趣且令她们厌烦的活动。对于编号为i的标志性建筑物，奶牛们清楚地知道参观它能给自己带来的乐趣值F_i (1 <= F_i <= 1000)。相对于奶牛们在走路上花的时间，她们参观建筑物的耗时可以忽略不计。奶牛们同样仔细地研究过城市中的道路。她们知道第i条道路两端的建筑物 L1_i和L2_i（道路方向为L1_i -> L2_i），以及她们从道路的一头走到另一头所需要的时间T_i(1 <= T_i <= 1000)。为了最好地享受她们的休息日，奶牛们希望她们在一整天中平均每单位时间内获得的乐趣值最大。当然咯，奶牛们不会愿意把同一个建筑物参观两遍，也就是说，虽然她们可以两次经过同一个建筑物，但她们的乐趣值只会增加一次。顺便说一句，为了让奶牛们得到一些锻炼，Farmer John要求奶牛们参观至少2个建筑物。请你写个程序，帮奶牛们计算一下她们能得到的最大平均乐趣值。

Input

* 第1行: 2个用空格隔开的整数：L 和 P

* 第2..L+1行: 第i+1行仅有1个整数：F_i * 第L+2..L+P+1行: 第L+i+1行用3个用空格隔开的整数：L1_i，L2_i以及T_i，描述了第i条道路。

Output

* 第1行: 输出1个实数，保留到小数点后2位（直接输出，不要做任何特殊的取整操作），表示如果奶牛按题目中描述的一系列规则来安排她们的旅行的话，她们能获得的最大平均乐趣值

题解：

题中让求一个最优比率环，每个点有一个点权Fi，每条边有一个边权Ti,求一个环使得 `\dfrac {\sum Fi} {\sum Ti}`最大。

其中有一个条件，点重复经过点权只算一次，可以证明，最优情况下一定每个点只经过一次，否则可以断成两个环有一个更优。所以重复经过不用考虑。

这是一个分数规划的题目，我们可以二分答案，转化为一个判定性问题。

如果二分一个答案是c，我们尝试找出`\dfrac {\sum Fi} {\sum Ti}>c`,如果能找出来，就说明有更优的答案更新答案下界，否则更新答案上届。

`\dfrac {\sum Fi} {\sum Ti}>c`可以化成 `\sum \left( Ti\cdot c\right) <\sum Fi`

移项得：`\sum \left( Fi-c\cdot T_{i}\right) < 0`

我们把另新的边权为Fi-c*Ti，其中Fi是出点的点权。

在这个图里如果有负环，就说明不等式成立。

找负环可以用spfa，一次把所有点扔进队列，若有一条最短路径边数超过n，说明有负环。

代码：

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <algorithm>

#include <cmath>

#include <queue>

//  by zrt

//  problem:

using namespace std ;

typedef long long LL ;

const double eps(1e-3) ;

const int inf(0x3f3f3f3f) ;

int n,m;

int fi[10050];

int H[10050],X[50050],t[50050],tot,P[50050];

inline void add(int x,int y,int z){

    P[++tot]=y;X[tot]=H[x];H[x]=tot;t[tot]=z;

}

double E[10050];

double d[10050];

struct N{

    int x;

    double w;

    int cnt;

    N(int a=0,double b=0,int c=0){

        x=a,w=b,cnt=c;

    }

    friend bool operator < (N a,N b){

        return a.w>b.w;

    }

};

priority_queue<N> q;

double Eps=1e-9;

bool judge(double x){

    while(!q.empty()) q.pop();

    for(int i=1;i<=tot;i++){

        E[i]=t[i]*x-fi[P[i]];

    }

    for(int i=1;i<=n;i++) d[i]=0,q.push(N(i,0,0));

    int a,cc;

    while(!q.empty()){

        if(q.top().cnt>n) return 1;

        a=q.top().x;cc=q.top().cnt;q.pop();

        for(int i=H[a];i;i=X[i]){

            if(d[P[i]]>d[a]+E[i]){

                d[P[i]]=d[a]+E[i];

                q.push(N(P[i],d[P[i]],cc+1));

            }

        }

        while(!q.empty()&&fabs(d[q.top().x]-q.top().w)>Eps) q.pop();

    }

    return false;

}

int main(){

    #ifdef LOCAL

    freopen("in.txt","r",stdin) ;

    freopen("out.txt","w",stdout) ;

    #endif

    scanf("%d%d",&n,&m);

    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&fi[i]);

    for(int i=0,x,y,z;i<m;i++){

        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);

        add(x,y,z);

    }

    double l,r,m;

    if(!judge(0)) {

        puts("0");

        goto ed;

    }

    l=0,r=2000;

    for(int tt=0;tt<30;tt++){

        m=(l+r)/2.0;

        if(judge(m)) l=m;

        else r=m;

    }

    printf("%.2f\n",l);

    ed:;

    return 0 ;

}