「JSOI2010」满汉全席

前言

由于蒟蒻才刚开始学 \(\text{2-SAT}\)，所以题解中有的地方可能不够精炼，望多包涵！

题目描述

题目意思很简单，标准的\(\text{2-SAT}\)问题模型。那么我们就先来介绍一下 \(\text{2-SAT}\) （以下是个人的小小概括）

\(\text{2-SAT}\) 问题，抽象化一下，是这样的：

给出 \(n\) 个布尔变量 \(\{x_n\}\)，以及 \(m\) 个命题 \((a,aa,b,bb)\)，一个命题成立的条件是\([x_a=aa]\lor[x_b=bb]\)

现在就是要判断是否一种方案，将\(\{x_n\}\)中的每个元素赋一个值，使所有的\(m\)个命题成立

对于这种问题，我们用一下方法来建立图的模型：

对于 \(n\) 个不同变量 \(x\)，我们将其拆成两个点，分别表示 \(x\) 为真和 \(x\) 为假（可以用 \(i\) 表示 \(x_i\) 为真，\(i+n\) 表示 \(x_i\) 为假）

接下来对于每一条有向边 \((a,b)\)，我们赋予它这样的意义：若 \(a\) 应该被满足，则 \(b\) 也必须被满足

这样一来，我们就可以用如下的方法判定有无解：

• 有解的情况：\(\forall\ i\in n\), \(i\) 和 \(i+n\) 不属于同一个强连通分量。
• 无解的情况：\(\exists\ i\in n\), \(i\) 和 \(i+n\) 属于同一个强连通分量。

因为按照我们上面的建边方法，属于同一个强连通分量的两个点他们所代表的命题是要同时为真的。

而因为同一个布尔变量 \(x\) 不会同时有两种值，所以以上判断方法的正确性是显然的。

那么我们就只需建好图，跑一遍 \(\text{Tarjan}\) 再按照上述方法判断即可。

那么，接下来就是最重要的一步：如何建图？

其实这并不难，只要能抽象出 \(\{x_n\}\) 和 \(m\) 个命题就好，以这道题为例，加深一下理解。

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基本思路

我们把\(n\)样食材抽象成\(\{x_n\}\)，第 \(i\) 样食材做成汉式表示 \(x_i\) 为真（点 \(i\)），反之表示 \(x_i\) 为假（点 \(i+n\)）

然后对于每一位评审的需求，也类似地按照上面的方法抽象一下

然后对于每一项需求给出的两个命题 \(p,q\)，我们连两条边 \((\lnot p,q)\) 和 \((\lnot q, p)\)

（至于这里的 \(p\) 和 \(q\)是什么，可以自己思考一下）

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细节注意事项

• 由于我们的 \(n\) 样食材会被拆成两个点，所以点的空间要开两倍。
• 由于我们的 \(m\) 项需求会产生两条边，所以边的空间也要开两倍。
• 每一次初始化时，如果用\(\text{for}\)循环清空数组，千万要注意枚举的上界（见上两条）。

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参考代码

可能我写的不是很好，没有看明白的话可以结合我的代码理解给个好评吧啊啊啊

/*--------------------------------
  Code name: meal.cpp
  Author: The Ace Bee
  This code is made by The Ace Bee
--------------------------------*/
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define rg register
#define fileopen(x)								\
	freopen(x".in", "r", stdin);				\
	freopen(x".out", "w", stdout);
#define fileclose								\
	fclose(stdin);								\
	fclose(stdout);
const int MAXN = 233;
const int MAXM = 2333;
inline int min(int a, int b) { return a < b ? a : b; }
inline int read() {
	int s = 0; bool f = false; char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9') f |= (c == '-'), c = getchar();
	while (c >= '0' && c <= '9') s = (s << 3) + (s << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
	return f ? -s : s;
}
int tot, head[MAXN], nxt[MAXM], ver[MAXM];
inline void Add_edge(int u, int v)
{ nxt[++tot] = head[u], head[u] = tot, ver[tot] = v; }
int n, num, dfn[MAXN], low[MAXN];
int st[MAXN], top, co[MAXN], col;
inline void tarjan(int u) {
	dfn[u] = low[u] = ++num, st[++top] = u;
	for (rg int v, i = head[u]; i; i = nxt[i]) {
		if (!dfn[v = ver[i]])
			tarjan(v), low[u] = min(low[u], low[v]);
		else
			if (!co[v]) low[u] = min(low[u], dfn[v]);
	}
	if (dfn[u] == low[u]) {
		++col;
		do co[st[top]] = col, --top;
		while (st[top + 1] != u);
	}
}
inline void init() {
	tot = col = num = top = 0;
	memset(co, 0, sizeof co);
	memset(dfn, 0, sizeof dfn);
	memset(low, 0, sizeof low);
	memset(head, 0, sizeof head);
}
int main() {
//	fileopen("meal");
	char sa[10], sb[10];
	for (rg int T = read(); T; --T) {
		init();
		int n = read();
		for (rg int m = read(); m; --m) {
			scanf("%s%s", sa, sb);
			int a = 0, lena = strlen(sa);
			for (rg int i = 1; i < lena; ++i)
				a = (a << 3) + (a << 1) + (sa[i] ^ 48);
			int b = 0, lenb = strlen(sb);
			for (rg int i = 1; i < lenb; ++i)
				b = (b << 3) + (b << 1) + (sb[i] ^ 48);
			if (sa[0] == 'h' && sb[0] == 'h')
				Add_edge(a + n, b), Add_edge(b + n, a);
			else if (sa[0] == 'h' && sb[0] == 'm')
				Add_edge(a + n, b + n), Add_edge(b, a);
			else if (sa[0] == 'm' && sb[0] == 'h')
				Add_edge(a, b), Add_edge(b + n, a + n);
			else if (sa[0] == 'm' && sb[0] == 'm')
				Add_edge(a, b + n), Add_edge(b, a + n);
		}
		for (rg int i = 1; i <= n << 1; ++i)
			if (!dfn[i]) tarjan(i);
		int flag = 1;
		for (rg int i = 1; i <= n; ++i)
			if (co[i] == co[i + n]) { flag = 0; break; }
		puts(flag ? "GOOD" : "BAD");
	}
//	fileclose;
	return 0;
}

完结撒花 \(qwq\)