bzoj 2118 墨墨的等式 - 图论最短路建模

墨墨突然对等式很感兴趣，他正在研究a1x1+a2y2+…+anxn=B存在非负整数解的条件，他要求你编写一个程序，给定N、{an}、以及B的取值范围，求出有多少B可以使等式存在非负整数解。

Input

输入的第一行包含3个正整数，分别表示N、BMin、BMax分别表示数列的长度、B的下界、B的上界。输入的第二行包含N个整数，即数列{an}的值。

Output

输出一个整数，表示有多少b可以使等式存在非负整数解。

Sample Input

2 5 10
3 5

Sample Output

5

Hint

对于100%的数据，N≤12，0≤ai≤5*10^5，1≤BMin≤BMax≤10^12。

---

　　直接说正解，找到a_i中的一个数(通常找最小的那一个，这样可以降低时间复杂度，至于为什么，看完应该就知道了)，暂且设它为m吧。

　　我们知道如果存在一个x，它能够被凑出来，那么(x + m), (x + 2m), ...都可以被凑出来。现在我们要找到这么一个最小的x。先建立一些点0,1,2,...,m - 1,表示满足条件的B模m的值。暂时先不考虑如何求出一次Bmin ~ Bmax中满足条件的B，因为可以用0到Bmax中的方案数减去0到Bmin - 1中的方案数。每个点连n - 1条边，第i个点的第j条边连向第(i + a_j) % m个点，边权为a_j。

　　看似有些跑题了，现在来讲讲它在题目中的含义。现在我们希望求到所有满足条件的最小的x，我们知道,当B模m的值为0时，B最小为0。同时我们可以用这个推出与它相邻的点代表的最小的B。再仔细想想，多推一下，这不是等价于求最短路吗？也就是说，从节点0出发，到达i的距离表示，最小的B模m的值为i的B的值。

　　最后计算一下方案数（相信你会做）就好了。还有特殊处理当某个a等于0的时候，不然会整数被零除，然后无限RE。另外，贡献一发wa，建图注意是单向的，减个a_j就不知道是不是满足了，笑。

Code

 /**
  * bzoj
  * Problem#2118
  * Accepted
  * Time:2888ms
  * Memory:93712k
  */
 #include<iostream>
 #include<fstream>
 #include<sstream>
 #include<algorithm>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<cctype>
 #include<cmath>
 #include<ctime>
 #include<map>
 #include<stack>
 #include<set>
 #include<queue>
 #include<vector>
 #ifndef WIN32
 #define AUTO "%lld"
 #else
 #define AUTO "%I64d"
 #endif
 using namespace std;
 typedef bool boolean;
 #define inf 0xfffffff
 #define smin(a, b) (a) = min((a), (b))
 #define smax(a, b) (a) = max((a), (b))
 template<typename T>
 inline boolean readInteger(T& u) {
     char x;
     int aFlag = ;
     while(!isdigit((x = getchar())) && x != '-' && x != -);
     if(x == -)    {
         ungetc(x, stdin);
         return false;
     }
     if(x == '-') {
         aFlag = -;
         x = getchar();
     }
     for(u = x - ''; isdigit((x = getchar())); u = u *  + x - '');
     u *= aFlag;
     ungetc(x, stdin);
     return true;
 }

 ///map template starts
 typedef class Edge{
     public:
         int end;
         int next;
         int w;
         Edge(const int end = , const int next = , const int w = ):end(end), next(next), w(w) {    }
 }Edge;

 typedef class MapManager{
     public:
         int ce;
         int *h;
         Edge *edge;
         MapManager() {    }
         MapManager(int points, int limit):ce() {
             h = new int[(const int)(points + )];
             edge = new Edge[(const int)(limit + )];
             memset(h, , sizeof(int) * (points + ));
         }
         inline void addEdge(int from, int end, int w) {
             edge[++ce] = Edge(end, h[from], w);
             h[from] = ce;
         }
         Edge& operator [] (int pos) {
             return edge[pos];
         }
 }MapManager;
 #define m_begin(g, i) (g).h[(i)]
 ///map template ends

 int n;
 long long bmin, bmax;
 MapManager g;
 int* a;
 int moder = inf;

 inline void init() {
     readInteger(n);
     readInteger(bmin);
     readInteger(bmax);
     a = new int[(const int)(n + )];
     for(int i = ; i <= n; i++) {
         readInteger(a[i]);
         if(a[i] == ) {
             i--, n--;
             continue;
         }
         smin(moder, a[i]);
     }
 }

 boolean *visited;
 long long* dis;
 queue<int> que;
 inline void spfa(int s) {
     visited = new boolean[(const int)(moder)];
     dis = new long long[(const int)(moder)];
     memset(visited, false, sizeof(boolean) * (moder));
     memset(dis, 0x7f, sizeof(long long) * (moder));
     dis[s] = ;
     que.push(s);
     while(!que.empty()) {
         int e = que.front();
         que.pop();
         visited[e] = false;
         for(int i = m_begin(g, e); i != ; i = g[i].next) {
             int &eu = g[i].end;
             if(dis[e] + g[i].w < dis[eu]) {
                 dis[eu] = dis[e] + g[i].w;
                 if(!visited[eu]) {
                     que.push(eu);
                     visited[eu] = true;
                 }
             }
         }
     }
 }

 inline long long calc(long long x) {
     long long ret = ;
     for(int i = ; i < moder; i++) {
         if(dis[i] <= x)
             ret += (x - dis[i]) / (long long)moder + ;
     }
     return ret;
 }

 inline void solve() {
     g = MapManager(moder, moder * n * );
     for(int i = ; i < moder; i++) {
         for(int j = ; j <= n; j++) {
             if(a[j] == moder) continue;
             g.addEdge(i, (i + a[j]) % moder, a[j]);
         }
     }
     spfa();
     long long res = calc(bmax) - calc(bmin - );
     printf(AUTO, res);
 }

 int main() {
     init();
     solve();
     return ;
 }