LG3812 【模板】线性基

题意

给定n个整数（数字可能重复），求在这些数中选取任意个，使得他们的异或和最大。
\(1≤n≤50,0≤S_i≤2^{50}\)

分析

模板题。
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现在我来证明一下线性基的性质。

性质

这说的线性基是真正的线性基，不是程序里面的。

1. 设线性基的异或集合中不存在0。
   这个是个构造，不用证明。数集T本身就是线性基，而它的异或集合中当然存在0。
2. 线性基的异或集合中每个元素的异或方案唯一，其实这个跟性质1是等价的。
   如果异或方案有多种，那么这些方案去掉公共部分后异或起来就是0，与性质1矛盾。
3. 线性基中元素互相异或，异或集合不变。
   考虑把这两个异或了的两个元素a,b提出来，剩下的组合，把这两个元素的贡献加入组合中，无论是否异或贡献都是a^b,a,b,0这4中情况
4. 线性基二进制最高位互不相同。
   这也是一个构造。如果原集有两个最高位相同，那么异或一下就不同了。由于性质3，异或集合不变，所以新的这个集合还是线性基。
5. 如果线性基是满的，它的异或集合为\([1,2^n-1]\)。
   没什么好说的。

标准化

就是querykth那样的构造，一定可以把线性基造成每个元素只有最高位为1的为1的集合。

代码

#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<list>
#include<deque>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<bitset>
#include<algorithm>
#include<complex>
#pragma GCC optimize ("O0")
using namespace std;
template<class T> inline T read(T&x)
{
    T data=0;
    int w=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
        if(ch=='-')
            w=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
        data=10*data+ch-'0',ch=getchar();
    return x=data*w;
}
typedef long long ll;
const int INF=0x7fffffff;

const int MAXB=51;
struct LB
{
    ll d[MAXB],p[MAXB];
    int cnt;

    LB()=default;

    bool insert(ll x)
    {
        for(int i=MAXB-1;i>=0;--i)
            if(x&(1LL<<i))
            {
                if(!d[i])
                {
                    d[i]=x;
                    break;
                }
                x^=d[i];
            }
        return x>0;
    }

    ll qmax()
    {
        ll res=0;
        for(int i=MAXB-1;i>=0;--i)
            if((res^d[i])>res)
                res^=d[i];
        return res;
    }

    ll qmin()
    {
        for(int i=0;i<MAXB;++i)
            if(d[i])
                return d[i];
        return 0;
    }

    void rebuild()
    {
        for(int i=MAXB-1;i>=0;--i)
            for(int j=i-1;j>=0;--j)
                if(d[i]&(1LL<<j))
                    d[i]^=d[j];
        cnt=0;
        for(int i=0;i<MAXB;++i)
            if(d[i])
                p[cnt++]=d[i];
    }

    ll qkth(ll k)
    {
        rebuild();
        if(k>=(1LL<<cnt))
            return -1;
        ll res=0;
        for(int i=cnt-1;i>=0;--i)
            if(k&(1LL<<i))
                res^=p[i];
        return res;
    }
}T;

int main()
{
//  freopen(".in","r",stdin);
//  freopen(".out","w",stdout);
    int n;
    read(n);
    while(n--)
    {
        static ll x;
        read(x);
        T.insert(x);
    }
    printf("%lld\n",T.qmax());
//  fclose(stdin);
//  fclose(stdout);
    return 0;
}