N-Queens I II（n皇后问题）(转）

N-Queens

The n-queens puzzle is the problem of placing n queens on an n×n chessboard such that no two queens attack each other.

Given an integer n, return all distinct solutions to the n-queens puzzle.

Each solution contains a distinct board configuration of the n-queens' placement, where 'Q' and '.' both indicate a queen and an empty space respectively.

For example, 
There exist two distinct solutions to the 4-queens puzzle:

[
 [".Q..",  // Solution 1
  "...Q",
  "Q...",
  "..Q."],

 ["..Q.",  // Solution 2
  "Q...",
  "...Q",
  ".Q.."]
]

算法1

这种棋盘类的题目一般是回溯法, 依次放置每行的皇后。在放置的时候，要保持当前的状态为合法，即当前放置位置的同一行、同一列、两条对角线上都不存在皇后。

class Solution {
private:
    vector<vector<string> > res;
public:
    vector<vector<string> > solveNQueens(int n) {
        vector<string>cur(n, string(n,'.'));
        helper(cur, );
        return res;
    }
    void helper(vector<string> &cur, int row)
    {
        if(row == cur.size())
        {
            res.push_back(cur);
            return;
        }
        for(int col = ; col < cur.size(); col++)
            if(isValid(cur, row, col))
            {
                cur[row][col] = 'Q';
                helper(cur, row+);
                cur[row][col] = '.';
            }
    }

    //判断在cur[row][col]位置放一个皇后，是否是合法的状态
    //已经保证了每行一个皇后，只需要判断列是否合法以及对角线是否合法。
    bool isValid(vector<string> &cur, int row, int col)
    {
        //列
        for(int i = ; i < row; i++)
            if(cur[i][col] == 'Q')return false;
        //右对角线(只需要判断对角线上半部分，因为后面的行还没有开始放置)
        for(int i = row-, j=col-; i >=  && j >= ; i--,j--)
            if(cur[i][j] == 'Q')return false;
        //左对角线(只需要判断对角线上半部分，因为后面的行还没有开始放置)
        for(int i = row-, j=col+; i >=  && j < cur.size(); i--,j++)
            if(cur[i][j] == 'Q')return false;
        return true;
    }
};

算法2

上述判断状态是否合法的函数还是略复杂，其实只需要用一个一位数组来存放当前皇后的状态。假设数组为int state[n], state[i]表示第 i 行皇后所在的列。那么在新的一行 k 放置一个皇后后:

• 判断列是否冲突，只需要看state数组中state[0…k-1] 是否有和state[k]相等；
• 判断对角线是否冲突：如果两个皇后在同一对角线，那么|row1-row2| = |column1 - column2|，（row1，column1），（row2，column2）分别为冲突的两个皇后的位置

  class Solution {
  private:
      vector<vector<string> > res;
  public:
      vector<vector<string> > solveNQueens(int n) {
          vector<int> state(n, -);
          helper(state, );
          return res;
      }
      void helper(vector<int> &state, int row)
      {//放置第row行的皇后
          int n = state.size();
          if(row == n)
          {
              vector<string>tmpres(n, string(n,'.'));
              for(int i = ; i < n; i++)
                  tmpres[i][state[i]] = 'Q';
              res.push_back(tmpres);
              return;
          }
          for(int col = ; col < n; col++)
              if(isValid(state, row, col))
              {
                  state[row] = col;
                  helper(state, row+);
                  state[row] = -;;
              }
      }
  
      //判断在row行col列位置放一个皇后，是否是合法的状态
      //已经保证了每行一个皇后，只需要判断列是否合法以及对角线是否合法。
      bool isValid(vector<int> &state, int row, int col)
      {
          for(int i = ; i < row; i++)//只需要判断row前面的行，因为后面的行还没有放置
              if(state[i] == col || abs(row - i) == abs(col - state[i]))
                  return false;
          return true;
      }
  };

  算法3：(算法2的非递归版）

  class Solution {
  private:
      vector<vector<string> > res;
  public:
      vector<vector<string> > solveNQueens(int n) {
          vector<int> state(n, -);
          for(int row = , col; ;)
          {
              for(col = state[row] + ; col < n; col++)//从上一次放置的位置后面开始放置
              {
                  if(isValid(state, row, col))
                  {
                      state[row] = col;
                      if(row == n-)//找到了一个解,继续试探下一列
                      {
                          vector<string>tmpres(n, string(n,'.'));
                          for(int i = ; i < n; i++)
                              tmpres[i][state[i]] = 'Q';
                          res.push_back(tmpres);
                      }
                      else {row++; break;}//当前状态合法，去放置下一行的皇后
                  }
              }
              if(col == n)//当前行的所有位置都尝试过，回溯到上一行
              {
                  if(row == )break;//所有状态尝试完毕，退出
                  state[row] = -;//回溯前清除当前行的状态
                  row--;
              }
          }
          return res;
      }
  
      //判断在row行col列位置放一个皇后，是否是合法的状态
      //已经保证了每行一个皇后，只需要判断列是否合法以及对角线是否合法。
      bool isValid(vector<int> &state, int row, int col)
      {
          for(int i = ; i < row; i++)//只需要判断row前面的行，因为后面的行还没有放置
              if(state[i] == col || abs(row - i) == abs(col - state[i]))
                  return false;
          return true;
      }
  };

  算法4（解释在后面）这应该是最高效的算法了

  class Solution {
  private:
      vector<vector<string> > res;
      int upperlim;
  public:
      vector<vector<string> > solveNQueens(int n) {
          upperlim = ( << n) - ;//低n位全部置1
          vector<string> cur(n, string(n, '.'));
          helper(,,,cur,);
          return res;
      }
  
      void helper(const int row, const int ld, const int rd, vector<string>&cur, const int index)
      {
          int pos, p;
          if ( row != upperlim )
          {
              pos = upperlim & (~(row | ld | rd ));//pos中二进制为1的位，表示可以在当前行的对应列放皇后
              //和upperlim与运算，主要是ld在上一层是通过左移位得到的，它的高位可能有无效的1存在，这样会清除ld高位无效的1
              while ( pos )
              {
                  p = pos & (~pos + );//获取pos最右边的1,例如pos = 010110，则p = 000010
                  pos = pos - p;//pos最右边的1清0
                  setQueen(cur, index, p, 'Q');//在当前行，p中1对应的列放置皇后
                  helper(row | p, (ld | p) << , (rd | p) >> , cur, index+);//设置下一行
                  setQueen(cur, index, p, '.');
              }
          }
          else//找到一个解
              res.push_back(cur);
      }
  
      //第row行，第loc1(p)列的位置放置一个queen或者清空queen，loc1(p)表示p中二进制1的位置
      void setQueen(vector<string>&cur, const int row, int p, char val)
      {
          int col = ;
          while(!(p & ))
          {
              p >>= ;
              col++;
          }
          cur[row][col] = val;
      }
  };

  这个算法主要参考博客N皇后问题的两个最高效的算法，主要看helper函数，参数row、ld、rd分别表示在列和两个对角线方向的限制条件下，当前行的哪些地方不能放置皇后。如下图

  

  前三行放置了皇后，他们对第3行（行从0开始）的影响如下：                               本文地址

  （1）列限制条件下，第3行的0、2、4列（紫色线和第3行的交点）不能放皇后，因此row = 101010

  （2）左对角线限制条件下，第3行的0、3列（蓝色线和第3行的交点）不能放皇后，因此ld = 100100

  （3）右对角线限制条件下，第3行的3、4、5列（绿色线和第3行的交点）不能放皇后，因此rd = 000111

  ~(row | ld | rd) = 010000，即第三行只有第1列能放置皇后。

  在3行1列这个位置放上皇后，row，ld，rd对下一行的影响为：

  row的第一位置1，变为111010

  ld的第一位置1，并且向左移1位（因为左对角线对行的影响是依次向左倾斜的），变为101000

  rd的第一位置1，并且向右移1位（因为右对角线对行的影响是依次向右倾斜的），变为001011

  第4行状态如下图

  

  ---

  N-Queens II

  Follow up for N-Queens problem.

  Now, instead outputting board configurations, return the total number of distinct solutions.

  

  这一题就是上一题的简化版了，我们只针对上面的算法2来求解这一题

  class Solution {
  private:
      int res;
  public:
      int totalNQueens(int n) {
          vector<int> state(n, -);
          res = ;
          helper(state, );
          return res;
      }
      void helper(vector<int> &state, int row)
      {//放置第row行的皇后
          int n = state.size();
          if(row == n)
          {
              res++;
              return;
          }
          for(int col = ; col < n; col++)
              if(isValid(state, row, col))
              {
                  state[row] = col;
                  helper(state, row+);
                  state[row] = -;;
              }
      }
  
      //判断在row行col列位置放一个皇后，是否是合法的状态
      //已经保证了每行一个皇后，只需要判断列是否合法以及对角线是否合法。
      bool isValid(vector<int> &state, int row, int col)
      {
          for(int i = ; i < row; i++)//只需要判断row前面的行，因为后面的行还没有放置
              if(state[i] == col || abs(row - i) == abs(col - state[i]))
                  return false;
          return true;
      }
  
  };

  转自：http://www.cnblogs.com/TenosDoIt/p/3801621.html