[ABC363G] Dynamic Scheduling 与 P4511 [CTSC2015] 日程管理

思路：

对于插入操作，设插入 \(\{t,p\}\)：

• 若当前 \(1 \sim t\) 有空位，那么就放进去。

• 否则，\(1 \sim t\) 是被塞满了的：

  • 首先容易想到的是找到 \(1 \sim t\) 中贡献最小的那个工作，若贡献比 \(p\) 还小，可以与之替换掉。

  • 但是假了，考虑这样一种情况：在 \(1 \sim t\) 外有一个更小的值，可以跟 \(1 \sim t\) 中的某个工作换一个位置，然后再将这个替换过来的工作替换掉，这样无疑是更优的。

  • 考虑如何快速维护这个东西，使用两棵线段树：

    • 第一棵线段树维护所有截止时间在区间 \([l,r]\) 的时刻完成的任务的截止时间的最大值。

    • 第二棵线段树维护所有截止时间在区间 \([l,r]\) 的时刻完成的任务的贡献的最小值。

  • 我们需要找到经过替换能替换到的最远时刻：

    • 令 \(A_{fi}\) 表示当前 \(1 \sim t\) 中截止时间最晚的时间，\(A_{se}\) 为 \(1 \sim t\) 中截止时间最晚的工作完成的时刻。

    • 令 \(B_{fi}\) 表示当前 \(1 \sim A_{fi}\) 中截止时间最晚的时间，\(B_{se}\) 为 \(1 \sim A_{fi}\) 中截止时间最晚的工作完成的时刻。

    • 那么若 \(A_{fi} < B_{fi}\)：

      • 说明可以将 \(A_{se}\) 与 \(B_{se}\) 时刻的工作调换一下。

      • 因为可以使得 \(1 \sim t\) 内的工作的最晚截止时刻更长。

    • 然后一直重复交换操作，直到不满足 \(A_{fi} < B_{fi}\) 为止。

  • 经过上述的操作，\(A_{fi}\) 达到了最大值；令 \(C_{fi}\) 表示当前 \(1 \sim A_{fi}\) 中工作贡献的最小值，\(C_{se}\) 表示完成最小贡献的工作所处的时刻。

  • 若 \(C_{se} > t\)，可以将 \(A_{se}\) 与 \(C_{se}\) 交换一下。

  • 此时的 \(C_{fi}\) 就是可以找到替换的最小值，若 \(p > C_{fi}\)，则可以替换。

对于删除操作：

• 若删除的工作我们选择完成了，设在 \(t\) 时刻完成：

  • 那么容易想到，可以找到截止时间在 \(t \sim T\) 中贡献最大且没有完成的工作，顶替上来即可。

  • 但是也假了，考虑这样一种情况，可以将 \(t\) 与 \(1 \sim t-1\) 时刻的某个工作 \(t'\) 交换，使得 \(t' \sim T\) 的最大贡献在 \(t' \sim t\) 中，则只看 \(t \sim T\) 是不优的。

  • 我们需要将 \(t\) 换到尽可能前面去，考虑二分：

    • 若 \(1 \sim mid\) 中截止时间最晚的时间是大于等于 \(t\) 的，说明 \(1 \sim mid\) 中有一个位置可以与 \(t\) 换，令 \(r=mid-1\)；否则 \(l=mid+1\)。

    • 设当前找到的最靠前的时刻为 \(t'\)，令 \(t \gets t'\)，然后再在 \(1 \sim t\) 的范围内二分。

    • 重复二分直到找不到 \(1 \sim t-1\) 范围内的点与 \(t\) 交换，即不存在 \(t'\)。

  • 此时我们得到了最小的 \(t\)，找 \(t \sim T\) 内贡献最大且没有完成的工作顶替即可。

  • 可以使用第三棵线段树：维护所有截止时间在区间 \([l,r]\) 的时刻未完成的任务的贡献的最大值。

• 若并没有完成该工作，则直接在第三棵线段树上将这个点的贡献消除即可。

第三棵线段树需要支持一个撤销操作，因为可能有完全一模一样的工作，需要在叶子节点处使用 multiset 维护最大值。

时间复杂度为 \(O(N \log^3 N)\)。

该做法码量和常数较大，谨慎使用。

完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define Add(x,y) (x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y)
#define lowbit(x) x&(-x)
#define pi pair<ll,ll>
#define pii pair<ll,pair<ll,ll>>
#define iip pair<pair<ll,ll>,ll>
#define ppii pair<pair<ll,ll>,pair<ll,ll>>
#define fi first
#define se second
#define full(l,r,x) for(auto it=l;it!=r;it++) (*it)=x
#define Full(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define open(s1,s2) freopen(s1,"r",stdin),freopen(s2,"w",stdout);
using namespace std;
typedef double db;
typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;
bool Begin;
const ll N=1e5+10,INF=1e18;
inline ll read(){
    ll x=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){
        if(c=='-')
          f=-1;
        c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9'){
        x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
        c=getchar();
    }
    return x*f;
}
inline void write(ll x){
	if(x<0){
		putchar('-');
		x=-x;
	}
	if(x>9)
	  write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
// T1 维护 1 ~ x 时刻中完成的任务的截止时间的最大值
// T2 维护 1 ~ x 时刻中完成的任务的得分的最小值
// T3 维护 1 ~ x 时刻中未完成的任务的得分的最大值
ll n,q,c,x,y,z,l,r,t,ans;
ll a[N],b[N],X[N],Y[N],Z[N];
map<pi,ll> cnt;
map<iip,ll> F;
class Tree1{
public:
	pi H[N<<2];  //{最大值,位置}
	pi add(pi a,pi b){
		if(a.fi>b.fi)
		  return a;
		return b;
	}
	void pushup(ll k){
		H[k]=add(H[k<<1],H[k<<1|1]);
	}
	void build(ll k,ll l,ll r){
		if(l==r){
			H[k].fi=0;
			H[k].se=l;
			return ;
		}
		ll mid=(l+r)>>1;
		build(k<<1,l,mid);
		build(k<<1|1,mid+1,r);
		pushup(k);
	}
	void update(ll k,ll l,ll r,ll i,ll v){
		if(l==i&&i==r){
			H[k].fi=v;
			return ;
		}
		ll mid=(l+r)>>1;
		if(i<=mid)
		  update(k<<1,l,mid,i,v);
		else
		  update(k<<1|1,mid+1,r,i,v);
		pushup(k);
	}
	void del(ll k,ll l,ll r,ll i){
		if(l==i&&i==r){
			H[k].fi=0;
			return ;
		}
		ll mid=(l+r)>>1;
		if(i<=mid)
		  del(k<<1,l,mid,i);
		else
		  del(k<<1|1,mid+1,r,i);
		pushup(k);
	}
	pi query(ll k,ll l,ll r,ll L,ll R){
		if(L>R)
		  return {-INF,0};
		if(l==L&&R==r)
		  return H[k];
		ll mid=(l+r)>>1;
		if(R<=mid)
		  return query(k<<1,l,mid,L,R);
		else if(L>mid)
		  return query(k<<1|1,mid+1,r,L,R);
		else
		  return add(query(k<<1,l,mid,L,mid),query(k<<1|1,mid+1,r,mid+1,R));
	}
	void Swap(ll x,ll y){
		ll xx=query(1,1,n,x,x).fi;
		ll yy=query(1,1,n,y,y).fi;
		update(1,1,n,x,yy);
		update(1,1,n,y,xx);
	}
}T1;
class Tree2{
public:
	pi H[N<<2];  //{最小值,位置}
	pi add(pi a,pi b){
		if(a.fi<b.fi)
		  return a;
		return b;
	}
	void pushup(ll k){
		H[k]=add(H[k<<1],H[k<<1|1]);
	}
	void build(ll k,ll l,ll r){
		if(l==r){
			H[k].fi=0;
			H[k].se=l;
			X[l]=Y[l]=Z[l]=0;
			return ;
		}
		ll mid=(l+r)>>1;
		build(k<<1,l,mid);
		build(k<<1|1,mid+1,r);
		pushup(k);
	}
	void update(ll k,ll l,ll r,ll i,ll x,ll y,ll c){
		if(l==i&&i==r){
			H[k].fi=y;
			X[i]=x,Y[i]=y,Z[i]=c;
			F[{{x,y},c}]=i;
			return ;
		}
		ll mid=(l+r)>>1;
		if(i<=mid)
		  update(k<<1,l,mid,i,x,y,c);
		else
		  update(k<<1|1,mid+1,r,i,x,y,c);
		pushup(k);
	}
	void del(ll k,ll l,ll r,ll i){
		if(l==i&&i==r){
			H[k].fi=0;
			F[{{X[i],Y[i]},Z[i]}]=0;
			X[i]=Y[i]=Z[i]=0;
			return ;
		}
		ll mid=(l+r)>>1;
		if(i<=mid)
		  del(k<<1,l,mid,i);
		else
		  del(k<<1|1,mid+1,r,i);
		pushup(k);
	}
	pi query(ll k,ll l,ll r,ll L,ll R){
		if(L>R)
		  return {INF,0};
		if(l==L&&R==r)
		  return H[k];
		ll mid=(l+r)>>1;
		if(R<=mid)
		  return query(k<<1,l,mid,L,R);
		else if(L>mid)
		  return query(k<<1|1,mid+1,r,L,R);
		else
		  return add(query(k<<1,l,mid,L,mid),query(k<<1|1,mid+1,r,mid+1,R));
	}
	void Swap(ll x,ll y){
		ll xx1=X[x],yy1=Y[x],cc1=Z[x],xx2=X[y],yy2=Y[y],cc2=Z[y];
		update(1,1,n,x,xx2,yy2,cc2);
		update(1,1,n,y,xx1,yy1,cc1);
	}
}T2;
class Tree3{
public:
	ll id[N];
	multiset<pii> S[N];
	iip H[N<<2]; // {{x,y},c}
	iip add(iip a,iip b){
		if(a.fi.se>b.fi.se)
		  return a;
		return b;
	}
	void pushup(ll k){
		H[k]=add(H[k<<1],H[k<<1|1]);
	}
	void update(ll k,ll l,ll r,ll x,ll y,ll c){
		if(l==x&&x==r){
			S[x].insert({-y,{-x,-c}});
			auto t=(*S[x].begin());
			H[k]={{-t.se.fi,-t.fi},-t.se.se};
			return ;
		}
		ll mid=(l+r)>>1;
		if(x<=mid)
		  update(k<<1,l,mid,x,y,c);
		else
		  update(k<<1|1,mid+1,r,x,y,c);
		pushup(k);
	}
	void del(ll k,ll l,ll r,ll x,ll y,ll c){
		if(l==x&&x==r){
			S[x].erase({-y,{-x,-c}});
			auto t=(*S[x].begin());
			H[k]={{-t.se.fi,-t.fi},-t.se.se};
			return ;
		}
		ll mid=(l+r)>>1;
		if(x<=mid)
		  del(k<<1,l,mid,x,y,c);
		else
		  del(k<<1|1,mid+1,r,x,y,c);
		pushup(k);
	}
	iip query(ll k,ll l,ll r,ll L,ll R){
		if(l==L&&R==r)
		  return H[k];
		ll mid=(l+r)>>1;
		if(R<=mid)
		  return query(k<<1,l,mid,L,R);
		else if(L>mid)
		  return query(k<<1|1,mid+1,r,L,R);
		else
		  return add(query(k<<1,l,mid,L,mid),query(k<<1|1,mid+1,r,mid+1,R));
	}
}T3;
void insert(ll x,ll y){
	c=++cnt[{x,y}];
	pi A,B;
	pi C;
	while(1){
		A=T1.query(1,1,n,1,x);
		B=T1.query(1,1,n,1,A.fi);
		if(A.fi<B.fi){
			T1.Swap(A.se,B.se);
			T2.Swap(A.se,B.se);
		}
		else
		  break;
	}
	A=T1.query(1,1,n,1,x);
	C=T2.query(1,1,n,1,A.fi);
	if(C.se>x){
		T1.Swap(A.se,C.se);
		T2.Swap(A.se,C.se);
	}
	C=T2.query(1,1,n,1,x);
	if(C.fi<y){
		ans+=y-C.fi;
		if(C.fi){
			T3.update(1,1,n,X[C.se],Y[C.se],Z[C.se]);
			T1.del(1,1,n,C.se);
			T2.del(1,1,n,C.se);
		}
		T1.update(1,1,n,C.se,x);
		T2.update(1,1,n,C.se,x,y,c);
	}
	else
	  T3.update(1,1,n,x,y,c);
}
void del(ll x,ll y){
	c=cnt[{x,y}]--;
	if(F[{{x,y},c}]){
		ans-=y;
		while(1){
			z=F[{{x,y},c}];
			l=1,r=z-1,t=-1;
			while(l<=r){
				ll mid=(l+r)>>1;
				if(T1.query(1,1,n,1,mid).fi>=z){
					t=mid;
					r=mid-1;
				}
				else
				  l=mid+1;
			}
			if(t==-1)
			  break;
			T1.Swap(t,z);
			T2.Swap(t,z);
		}
		z=F[{{x,y},c}];
		T1.del(1,1,n,z);
		T2.del(1,1,n,z);
		iip A=T3.query(1,1,n,z,n);
		if(A.se){
			ans+=A.fi.se;
			T1.update(1,1,n,z,A.fi.fi);
			T2.update(1,1,n,z,A.fi.fi,A.fi.se,A.se);
			T3.del(1,1,n,A.fi.fi,A.fi.se,A.se);
		}
	}
	else
	  T3.del(1,1,n,x,y,c);
}
bool End;
/*[ABC363G] Dynamic Scheduling
int main(){
	n=read(),q=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  a[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  b[i]=read();
	T1.build(1,1,n);
	T2.build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  insert(a[i],b[i]);
//	write(ans);
//	putchar('\n');
	while(q--){
		x=read();
		del(a[x],b[x]);
		a[x]=read(),b[x]=read();
		insert(a[x],b[x]);
		write(ans);
		putchar('\n');
	}
	cerr<<'\n'<<abs(&Begin-&End)/1048576<<"MB";
	return 0;
}*/
/*P4511 [CTSC2015] 日程管理
int main(){
	n=read(),q=read();
	T1.build(1,1,n);
	T2.build(1,1,n);
	while(q--){
		cin>>op;
		x=read(),y=read();
		if(op[0]=='A')
		  insert(x,y);
		else
		  del(x,y);
		write(ans);
		putchar('\n');
	}
	return 0;
}
*/