uvalive 5731 Qin Shi Huang’s National Road System

题意：

秦始皇要修路使得所有的城市连起来，并且花费最少；有一个人，叫徐福，他可以修一条魔法路，不花费任何的钱与劳动力。

秦始皇想让修路的费用最少，但是徐福想要受益的人最多，所以他们经过协商，决定让 A / B 最大，A代表被魔法路连接的两个城市的人口总数，B代表修的路中非魔法路的总长度。

输出 A / B 的最大值。

思路：

A / B 最大，则A尽可能大，B尽可能小，所以首先把MST求出来。由于每个城市的人口有很大的偏差，所以必须枚举每一条边，计算连接的两个城市的人口，复杂度为O(n^2)，所以每次替换边的复杂度必须是O(1)。

由于是稠密图，所以用prim算法，prim算法在O(n^2)的复杂度的时候，可以维护最小生成树上两点之间的最长边，这样就可以在过程中把两点间的最长边保存下来。这个是依靠已知的前驱节点实现的。复杂度为O(n^2)。

枚举每一条边时，如果这条边是MST中的边，那么就直接计算 A / B；如果这条边不在MST中，加入这条边就会成环，这时我们保存的信息就起作用了，成环之后把在MST中的连接这两点的最长边去掉，就是新的生成树的权值，且保证了B尽可能小。替换的时间复杂度为O(1)。

代码：

 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #include <algorithm>
 #include <vector>
 #include <math.h>
 using namespace std;
 const int maxn = ;
 double path[maxn][maxn];
 double g[maxn][maxn];
 double dis[maxn];
 bool vis[maxn];
 bool used[maxn][maxn];
 int peo[maxn];
 int pre[maxn];
 double ans;
 struct point
 {
     int x,y;
 }p[maxn];

 double cal(int i,int j)
 {
     double x2 = (p[i].x - p[j].x) * (p[i].x - p[j].x);
     double y2 = (p[i].y - p[j].y) * (p[i].y - p[j].y);

     return sqrt(x2 + y2);
 }

 int prim(int n)
 {
     memset(vis,,sizeof(vis));
     memset(path,,sizeof(path));
     memset(used,,sizeof(used));
     for (int i = ;i <= n;i++) dis[i] = 1e15;

     vis[] = ;
     dis[] = ;

     int tot = ;
     ans = ;
     //double len = 0;

     for (int i = ;i <= n;i++)
     {
         pre[i] = ;
         dis[i] = g[][i];
     }

     for (int i = ;i < n;i++)
     {
         int u;
         double d = 1e15;

         for (int j = ;j <= n;j++)
         {
             if (!vis[j] && dis[j] < d)
             {
                 d = dis[j];
                 u = j;
             }
         }

         vis[u] = ;

         ans += d;

         //tot = max(peo[u] + peo[pre[u]],tot);

         used[u][pre[u]] = used[pre[u]][u] = ;

         for (int j = ;j <= n;j++)
         {
             if (vis[j] && j != u)
                 path[u][j] = path[j][u] = max(d,path[j][pre[u]]);
         }

         for (int j = ;j <= n;j++)
         {
             if (!vis[j])
             {
                 if (g[u][j] < dis[j])
                 {
                     dis[j] = g[u][j];
                     pre[j] = u;
                 }
             }
         }
     }

     //printf("%.2f **\n",ans);

     return tot;
 }

 int main()
 {
     int t;

     scanf("%d",&t);

     while (t--)
     {
         int n;

         scanf("%d",&n);

         for (int i = ;i <= n;i++)
         {
             scanf("%d%d%d",&p[i].x,&p[i].y,&peo[i]);
         }

         for (int i = ;i <= n;i++)
         {
             for (int j = ;j <= n;j++)
             {
                 g[i][j] = 1e15;
             }
         }

         for (int i = ;i <= n;i++)
         {
             for (int j = i+;j <= n;j++)
             {
                 g[i][j] = g[j][i] = cal(i,j);
             }
         }

         prim(n);

         double ans1 = ;

         for (int i = ;i <= n;i++)
         {
             for (int j = i + ;j <= n;j++)
             {
                 if (used[i][j])
                 {
                     int peop = peo[i] + peo[j];
                     ans1 = max(peop / (ans - g[i][j]),ans1);

                     //printf("%d %d %d %.2f **\n",i,j,peop,ans - g[i][j]);
                 }
                 else
                 {
                     int peop = peo[i] + peo[j];
                     ans1 = max(peop / (ans - path[i][j]),ans1);
                     //printf("%d %d %d %.2f **\n",i,j,peop,ans - path[i][j]);
                 }
             }
         }

         printf("%.2f\n",ans1);

         //printf("%.2f",path[1][4]);
     }

     return ;
 }