LOJ#3097 [SNOI2019]通信 最小费用最大流+cdq分治/主席树/分块优化建图

瞎扯

我们网络流模拟赛（其实是数据结构模拟赛）的T2。

考场上写主席树写自闭了，直接交了\(80pts\)的暴力，考完出来突然发现：

• woc这个题一个cdq几行就搞定了！

题意简述

有\(n\)个哨站，第\(i\)个哨站的频段为\(a_i\)。每个哨站可以花费\(W\)连接中心，也可以花费\(|a_j-a_i|\)连接到第\(j\)个哨站（\(j<i\)）。

每个哨站最多只能被连接一次，求所有哨站连接的最小花费。

做法

Luogu能过的暴力

由最多只能被连接一次想到流量限制（显然），发现题目要求最小花费，所以建图跑最小费用最大流。

考虑暴力建边，将每个点拆成\(2\)个点，一个表示直接连接中心，另一个限制流量。

• 所以有\(S \xrightarrow{1/0} i \xrightarrow{1/W} T\)，\(i \xrightarrow{\infty/|a_i-a_j|} j'\)，\(i' \xrightarrow{1/0} T\)。

考场上我写完建图和zkw费用流就跑了，然后突然发现边是\(n^2\)的，跑极限数据要跑\(100s+\)，但是我后面交luogu竟然过了？？？

暴力代码

// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define re register int
#define db double
#define in inline
namespace fast_io
{
	char buf[1<<12],*p1=buf,*p2=buf,sr[1<<23],z[23],nc;int C=-1,Z=0;
	in char gc() {return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<12,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
	in ll read()
	{
		ll x=0,y=1;while(nc=gc(),(nc<48||nc>57)&&nc!=-1) if(nc==45) y=-1;
		x=nc-48;while(nc=gc(),47<nc&&nc<58) x=(x<<3)+(x<<1)+(nc^48);return x*y;
	}
	in db gf() {re a=read(),b=(nc!='.')?0:read(),c=ceil(log10(b));return (b?a+(db)b/pow(10,c):a);}
	in int gs(char *s) {char c,*t=s;while(c=gc(),c<32);*s++=c;while(c=gc(),c>32)*s++=c;return s-t;}
	template <typename T>
	in void write(T x,char t)
	{
		re y=0;if(x<0) y=1,x=-x;while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
		if(y) z[++Z]='-';while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]=t;
	}
	in void write(char *s) {re l=strlen(s);for(re i=0;i<l;i++,*s++)sr[++C]=*s;sr[++C]='\n';}
	in void ot() {fwrite(sr,1,C+1,stdout);C=-1;}
};
using namespace fast_io;
const int N=2e3+5;
const ll inf=1e18;
int cnt=1,sum,tot,n,s,t,m,k;
int h[N],l,r,q[N],vis[N],a[N];
ll ans,maxflow,dis[N];
struct did{int u,next,to,f,w;}e[N*N];
in void add(re a,re b,re c,re d)
{
	e[++cnt]=(did){a,h[a],b,c,d},h[a]=cnt;
	e[++cnt]=(did){b,h[b],a,0,-d},h[b]=cnt;
}
int spfa()
{
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	for(re i=s;i<=t;i++) dis[i]=i==s?0:inf;
	queue<int>q;q.push(s);vis[s]=1;
	while(!q.empty())
	{
		re i=q.front();vis[i]=0;q.pop();
		for(re j=h[i],k;k=e[j].to,j;j=e[j].next)
		if(e[j].f&&dis[k]>dis[i]+e[j].w)
		{
			dis[k]=dis[i]+e[j].w;
			if(!vis[k]) q.push(k),vis[k]=1;
		}
	}
	return dis[t]<inf;
}
in int dfs(re u,re f)
{
	if(u==t) return f; vis[u]=1;
	re res=0;
	for(re i=h[u],v;v=e[i].to,i&&res<f;i=e[i].next)
	if(e[i].f&&!vis[v]&&dis[v]==dis[u]+e[i].w)
	{
		re t=dfs(v,min(f-res,e[i].f));
		res+=t;ans+=(ll)e[i].w*t;
		e[i].f-=t;e[i^1].f+=t;
	}
	if(!res) dis[u]=inf;
	return vis[u]=0,res;
}
in void zkw() {while(spfa()) memset(vis,0,sizeof(vis)),maxflow+=dfs(s,1e9);}
int main()
{
	n=read();m=read();s=0,t=n*2+1;
	for(re i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),add(s,i,1,0),add(i,t,1,m),add(n+i,t,1,0);
	for(re i=1;i<n;i++) for(re j=i+1;j<=n;j++)
	if(abs(a[i]-a[j])<m) add(j,n+i,1,abs(a[i]-a[j]));
	zkw();write(ans,'\n');
	return ot(),0;
}

正解（暴力优化）

发现本题瓶颈在于一个点向一个区间连边，而且有费用。

考场上没想到可以转化负数，一直不知道如何解决绝对值。这里采用常数和花费更为优秀的cdq分治，分治后将区间内所有的虚点间连接费用为\(\Delta a\)的边，二分保证连边的\(a_j\)都大于\(a_i\)即可。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define re register int
#define db double
#define in inline
namespace fast_io
{
	char buf[1<<12],*p1=buf,*p2=buf,sr[1<<23],z[23];int C=-1,Z=0;
	in char gc() {return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<12,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
	in ll read()
	{
		ll x=0,y=1;char c;while(c=gc(),(c<48||c>57)&&c!=-1) if(c==45) y=-1;
		x=c-48;while(c=gc(),47<c&&c<58) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);return x*y;
	}
	in db gf() {int a=read(),b=read(),c=ceil(log10(b));return (b?a+(db)b/pow(10,c):a);}
	in int gs(char *s) {char c,*t=s;while(c=gc(),c<32);*s++=c;while(c=gc(),c>32)*s++=c;return s-t;}
	template <typename T>
	in void write(T x,char t)
	{
		re y=0;if(x<0) y=1,x=-x;while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
		if(y) z[++Z]='-';while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]=t;
	}
	in void write(char *s) {re l=strlen(s);for(re i=0;i<l;i++,*s++)sr[++C]=*s;sr[++C]='\n';}
	in void ot() {fwrite(sr,1,C+1,stdout);C=-1;}
};
using namespace fast_io;
const int N=1e5+5;
const ll inf=1e18;
int cnt=1,sum,tot,n,s,t,m,k;
int h[N],l,r,q[N],vis[N],a[N];
ll ans,maxflow,dis[N];
struct did{int u,next,to,f,w;}e[N*21];
in void add(re a,re b,re c,re d)
{
	e[++cnt]=(did){a,h[a],b,c,d},h[a]=cnt;
	e[++cnt]=(did){b,h[b],a,0,-d},h[b]=cnt;
}
int spfa()
{
	memset(vis,0,sizeof(vis));fill(dis+1,dis+sum+1,inf);
	dis[s]=0;queue<int>q;q.push(s);vis[s]=1;
	while(!q.empty())
	{
		re i=q.front();vis[i]=0;q.pop();
		for(re j=h[i],k;k=e[j].to,j;j=e[j].next)
		if(e[j].f&&dis[k]>dis[i]+e[j].w)
		{
			dis[k]=dis[i]+e[j].w;
			if(!vis[k]) q.push(k),vis[k]=1;
		}
	}
	return dis[t]<inf;
}
in int dfs(re u,re f)
{
	if(u==t) return f; vis[u]=1;
	re res=0;
	for(re i=h[u],v;v=e[i].to,i&&res<f;i=e[i].next)
	if(e[i].f&&!vis[v]&&dis[v]==dis[u]+e[i].w)
	{
		re t=dfs(v,min(f-res,e[i].f));
		res+=t;ans+=(ll)e[i].w*t;
		e[i].f-=t;e[i^1].f+=t;
	}
	if(!res) dis[u]=inf;
	return vis[u]=0,res;
}
in void zkw() {while(spfa()) memset(vis,0,sizeof(vis)),maxflow+=dfs(s,1e9);}
void link(re l,re r)
{
	static int t[N];
	if(l==r) return; re mid=(l+r)>>1,tot=0;
	link(l,mid);link(mid+1,r);
	for(re i=l;i<=r;i++) t[++tot]=a[i];
	sort(t+1,t+tot+1);tot=unique(t+1,t+tot+1)-t-1;
	for(re i=1;i<tot;i++) add(sum+i,sum+i+1,1e9,t[i+1]-t[i]),add(sum+i+1,sum+i,1e9,t[i+1]-t[i]);
	for(re i=l;i<=r;i++)
	{
		re j=lower_bound(t+1,t+tot+1,a[i])-t;
		(i<=mid)?add(sum+j,n+i,1,0):add(i,sum+j,1,0);
	}
	sum+=tot;
}
int main()
{
	n=read();m=read();s=0,t=sum=n*2+1;
	for(re i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),add(s,i,1,0),add(i,t,1,m),add(n+i,t,1,0);
	link(1,n);zkw();write(ans,'\n');
	return ot(),0;
}