bzoj3505: [Cqoi2014]数三角形 [数论][gcd]
Description
给定一个nxm的网格,请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。
注意三角形的三点不能共线。
Input
输入一行,包含两个空格分隔的正整数m和n。
Output
输出一个正整数,为所求三角形数量。
Sample Input
Sample Output
1<=m,n<=1000

太伤心了。。不能abs(int)???
首先格点个数是(n+1)*(m+1)的,所以我们先把n和m都+1。 先选出三个不同点,方案数是C(n*m,3)。 接下来扣掉三点共线的情况。 枚举两个点,计算以它们为端点的线段上的整点个数。 不难发现是gcd(x1-x2,y1-y2)-1。 线段是可以平移的,那么我们把其中一个点固定在(0,0),只枚举另一个点的坐标,然后乘上方案数就行了。 时间复杂度O(nm)
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
#define dbg(x) cout<<#x<<" = "<<x<<endl typedef long long ll; const int maxn=; int n,m,f[maxn][maxn],ens;
ll ans; ll C(int a,int b){
ll res=;
for(int i=a;i>a-b;i--) res*=i;
for(int i=b;i>;i--) res/=i;
return res;
} int gcd(int a,int b){
if(f[a][b]) return f[a][b];
return b?(f[a][b]=gcd(b,a%b)):a;
} int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
n++; m++;
ans=C(n*m,);
for(int i=-n+;i<=n-;i++)
for(int j=;j<=m-;j++){
//避免重复计算
if(!j&&i<=) continue;
ens=gcd(i<?-i:i,j)-;
// dbg(abs(i)); dbg(j); dbg(ens);
ans-=1ll*ens*(n-(i<?-i:i))*(m-j);
}
printf("%lld\n",ans);
return ;
}
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