bzoj3505: [Cqoi2014]数三角形 [数论][gcd]

Description

给定一个nxm的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。

注意三角形的三点不能共线。

Input

输入一行，包含两个空格分隔的正整数m和n。

Output

输出一个正整数，为所求三角形数量。

Sample Input

2 2

Sample Output

76

数据范围
1<=m,n<=1000

---

太伤心了。。不能abs(int)???

首先格点个数是(n+1)*(m+1)的，所以我们先把n和m都+1。 先选出三个不同点，方案数是C(n*m,3)。 接下来扣掉三点共线的情况。 枚举两个点，计算以它们为端点的线段上的整点个数。 不难发现是gcd(x1-x2,y1-y2)-1。 线段是可以平移的，那么我们把其中一个点固定在(0,0)，只枚举另一个点的坐标，然后乘上方案数就行了。 时间复杂度O(nm)

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 using namespace std;
 #define dbg(x) cout<<#x<<" = "<<x<<endl

 typedef long long ll;

 const int maxn=;

 int n,m,f[maxn][maxn],ens;
 ll ans;

 ll C(int a,int b){
     ll res=;
     for(int i=a;i>a-b;i--)  res*=i;
     for(int i=b;i>;i--)  res/=i;
     return res;
 }

 int gcd(int a,int b){
     if(f[a][b])  return f[a][b];
     return b?(f[a][b]=gcd(b,a%b)):a;
 }

 int main(){
     scanf("%d%d",&n,&m);
     n++;  m++;
     ans=C(n*m,);
     for(int i=-n+;i<=n-;i++)
         for(int j=;j<=m-;j++){
             //避免重复计算
             if(!j&&i<=)  continue;
             ens=gcd(i<?-i:i,j)-;
 //            dbg(abs(i));  dbg(j);  dbg(ens);
             ans-=1ll*ens*(n-(i<?-i:i))*(m-j);
         }
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }