SP1716 GSS3 - Can you answer these queries III - 动态dp,线段树

GSS3

Description

动态维护最大子段和，支持单点修改。

Solution

设 \(f[i]\) 表示以 \(i\) 为结尾的最大子段和， \(g[i]\) 表示 \(1 \sim i\) 的最大子段和，那么

\[f[i] = max(f[i - 1] + a[i], a[i])
\]

\[g[i] = max(g[i - 1], f[i])
\]

发现只跟前一项有关。我们希望使用矩阵乘法的思路，但是矩阵乘法通常只能适用于递推问题。因此我们引入广义矩阵乘法。

矩阵乘法问题可分治的原因在于矩阵乘法满足结合律，而满足结合律的根本原因是乘法对加法满足分配率，即

\[a\cdot (b+c) = a\cdot c + b\cdot c
\]

那么在这里，很容易发现，加法运算对\(Min/Max\)运算也是满足分配率的，即

\[a + min(b,c) = min(a+c,b+c)
\]

\[a + max(b,c) = max(a+c,b+c)
\]

所谓广义矩阵乘法，就是将矩阵乘法中的加法运算换成\(Min/Max\)运算，乘法运算换成加法运算，那么这样的矩阵乘法仍然满足结合律。

考虑到 \(g[i]\) 从 \(f[i]\) 转移过来的那一项可以直接拆开，很容易得到转移方程

\[\begin{bmatrix}
f_{i} \\ g_{i} \\ 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{i} & -\infty & a_{i} \\
a_{i} & 0 & a_{i}\\
-\infty & -\infty & 0 \\
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
f_{i-1} \\ g_{i-1} \\ {0}
\end{bmatrix}
\]

可以将其记为

\[F_i = A_i \cdot F_{i-1}
\]

于是我们用线段树暴力维护所有\(A_i\)的乘积即可。复杂度\(O(27n \log{n})\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
struct Matrix {
	int n,m,a[5][5];
	Matrix() {
		n=m=0;
		for(int i=0;i<4;i++) for(int j=0;j<4;j++) a[i][j]=0;
	}
	Matrix operator * (const Matrix &y) {
		Matrix r;
		if(m!=y.n) return r;
		r.n = n; r.m = y.m;
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			for(int j=1;j<=y.m;j++) {
				for(int k=1;k<=m;k++) {
					if(k==1) r.a[i][j]=a[i][k]+y.a[k][j];
					else r.a[i][j]=max(r.a[i][j],a[i][k]+y.a[k][j]);
				}
			}
		}
		return r;
	}
};
Matrix make(int x) {
	Matrix r;
	r.m=r.n=3;
	r.a[1][1]=r.a[1][3]=r.a[2][1]=r.a[2][3]=x;
	r.a[2][2]=r.a[3][3]=0;
	r.a[1][2]=r.a[3][1]=r.a[3][2]=-1e+9;
	return r;
}

const int N = 1000005;

Matrix val[N],zero;
int n,q,src[N],t1,t2,t3;

void pushup(int p) {
	val[p] = val[p*2]*val[p*2+1];
}
void build(int p,int l,int r) {
	if(l==r) {
		val[p]=make(src[l]);
	}
	else {
		build(p*2,l,(l+r)/2);
		build(p*2+1,(l+r)/2+1,r);
		pushup(p);
	}
}
void modify(int p,int l,int r,int pos,int key) {
	if(l==r) {
		val[p]=make(key);
	}
	else {
		if(pos<=(l+r)/2) modify(p*2,l,(l+r)/2,pos,key);
		else modify(p*2+1,(l+r)/2+1,r,pos,key);
		pushup(p);
	}
}
Matrix query(int p,int l,int r,int ql,int qr) {
	Matrix R=make(-1e+9);
	if(l>qr||r<ql) return R;
	if(l>=ql&&r<=qr) return val[p];
	return query(p*2,l,(l+r)/2,ql,qr)*query(p*2+1,(l+r)/2+1,r,ql,qr);
}

signed main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>src[i];
	cin>>q;
	zero.n=3; zero.m=1;
	zero.a[1][1]=zero.a[2][1]=-1e+9;
	build(1,1,n);
	for(int i=1;i<=q;i++) {
		cin>>t1>>t2>>t3;
		if(t1==0) {
			modify(1,1,n,t2,t3);
		}
		else {
			Matrix r=query(1,1,n,t2,t3)*zero;
			cout<<r.a[2][1]<<endl;
		}
	}
}

当然似乎这个问题用线段树暴力又短又快

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int src[1000005],a[1000005],al[1000005],ar[1000005],s[1000005],n,m,t1,t2,t3,t4;

struct Result {
	int a,al,ar,s;
};

void build(int p,int l,int r) {
	if(l==r) a[p]=al[p]=ar[p]=s[p]=src[l];
	else {
		build(p<<1,l,(l+r)/2),
		build(p<<1|1,(l+r)/2+1,r);
		a[p]=max(max(a[p<<1],a[p<<1|1]),max(max(ar[p<<1],al[p<<1|1]),ar[p<<1]+al[p<<1|1]));
		al[p]=max(al[p<<1],s[p<<1]+max(0,al[p<<1|1]));
		ar[p]=max(ar[p<<1|1],max(0,ar[p<<1])+s[p<<1|1]);
		s[p]=s[p*2]+s[p*2+1];
	}
}

void modify(int p,int l,int r,int pos,int key) {
	if(l==r) a[p]=al[p]=ar[p]=s[p]=key;
	else {
		if(pos<=(l+r)/2) modify(p<<1,l,(l+r)/2,pos,key);
		else modify(p<<1|1,(l+r)/2+1,r,pos,key);
		a[p]=max(max(a[p<<1],a[p<<1|1]),max(max(ar[p<<1],al[p<<1|1]),ar[p<<1]+al[p<<1|1]));
		al[p]=max(al[p<<1],s[p<<1]+max(0,al[p<<1|1]));
		ar[p]=max(ar[p<<1|1],max(0,ar[p<<1])+s[p<<1|1]);
		s[p]=s[p*2]+s[p*2+1];
	}
}

Result query(int p,int l,int r,int ql,int qr) {
	Result res;
	res.a=-1e+8;
	res.al=-1e+8;
	res.ar=-1e+8;
	res.s=-1e+8;
	if(l>qr||r<ql) return res;
	if(l>=ql&&r<=qr) {
		res.a=a[p];
		res.al=al[p];
		res.ar=ar[p];
		res.s=s[p];
		return res;
	}
	else {
		Result cl,cr;
		cl=query(p<<1,l,(l+r)/2,ql,qr);
		cr=query(p<<1|1,(l+r)/2+1,r,ql,qr);
		res.a=max(max(cl.a,cr.a),max(max(cl.ar,cr.al),cl.ar+cr.al));
		res.al=max(cl.al,cl.s+max(0,cr.al));
		res.ar=max(cr.ar,max(0,cl.ar)+cr.s);
		res.s=cl.s+cr.s;
		return res;
	}
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>src[i];
	build(1,1,n);
	cin>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		cin>>t3>>t1>>t2;
		if(t3) {
			Result res=query(1,1,n,t1,t2);
			cout<<res.a<<endl;
		}
		else {
			modify(1,1,n,t1,t2);
		}
	}
}