Codeforces 1204D2. Kirk and a Binary String (hard version) (dp思路)

题目链接:http://codeforces.com/contest/1204/problem/D2

题目是给定一个01字符串，让你尽可能多地改变1变为0，但是要保证新的字符串，对任意的L,R使得Sl,Sl+1,Sl+2...Sr的最长不递减子序列长度保持不变，求新的串s。

dp思路，从前往后遍历串s。

1 . 遇到s[ i ] = 0 是不能改变的，因为从i到n的最长不递减子序列必定是以s[ i ] = 0为起点的，改变之后会减少长度。

2 . 遇到s[ i ] = 1。我们考虑如果变为0，首先从0到 i-1 的最长不递减子序列是不受到影响的，因为从0到 i 的最长不递减子序列必定是以s [ i ] = 1为结尾的，不影响0到i -1 的最长不递减子序列，那么在0到i区间内, 我们需要保证条件1：任意的x（0<x<i）到 i 最长不递减子序列不发生改变，这里只要保证0到 i 的最长不递减子序列不变即可，任意的x(0<x<i)到 i 的最长不递减子序列就不会改变，因为0到x不会因为s[ i ]的变化受到影响，所以只要0到 i 的最长不递减子序列不发生改变，则x到 i 也不会改变。如果此时将s[ i ] 从1变成 0，要要0到 i 的最长不递减子序列不变，只有是以s[ i ] = 0为结尾的最长不递减子序列（原因上述有提到）的长度不变才可以，以s[ i ] = 0为结尾只能是一组0000...00，中间不能穿插1，所以其等价条件就是zeros + 1 == LIS1[ i ] (zeros表示从0到i中0的个数，LIS1表示0到i的最长不递减子序列)，这里便满足条件1了。

需要满足的条件2：既然0到 i 已经保证，那么 i 到 n也是同样的道理，s[ i ] 由1变为0，此时 i 到n的最长不递减子序列势必是以s[ i ] = 0 为起点，其长度可以表示为LIS2[ i + 1 ]+1    // ( LIS2[ i +1 ] 表示i + 1 到n的最长不递减子序列) //。如果改变之前的最长不递减子序列是以s [ i ] = 1为起点，改变之后仍然以s[ i ] 为起点的话就没有问题，如果改变之前不是以S[ i ]为起点，改变之后从i到的n的最长不递减子序列必定会增加，因为i到n最长不递减子序列不管是以0为起点还是1为起点，当s[ i ] = 0时，肯定会与其拼接上，长度会+1。以上的等价条件就转化为 LIS2[ i ] == LIS2[ i +1 ] +1

满足以上两个条件的情况下，就可以使s[ i ] = 1变为0。

PS:在求解最长不递减子序列的过程中，如果用O（n^2）的算法对hard version会超时，easy version可以过。所以只能选择nlogn复杂度的算法。但是对于求LIS2[ i ] (i到n的最长不递减子序列)，我没有想到相对简单的办法，因为不会lower_bound()的重载，所以只能选择较为麻烦的方法（具体看代码）， 如果哪位朋友有更简便的做法可以留言一起交流一下。

AC代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define maxn 100005
using namespace std;
int LIS1[maxn],LIS2[maxn],ones[maxn];
char low1[maxn],low2[maxn];//low[i]数组记录长度为i的最长不递减子序列结尾最小的元素
string s;
int zeros = 0,ans = 1;
int main(){
	cin>>s;
	LIS1[0] = 1,low1[1] = s[0];
	for(int i = 1;i<s.length();i++){
		if(s[i] >= low1[ans]){
			low1[++ans] = s[i];
		}
		else{
			int k = upper_bound(low1,low1 + ans + 1,s[i]) - low1 ;
			low1 [k] = s[i];
		}
		LIS1[i] = ans;
	}//用nlogn时间复杂度求从左到右求最长上升子序列 

	int cnt_one = 0;//从右到左记录1的个数
	if(s[s.length() -1] == '1'){
		cnt_one++;
	}
	ans = 1,LIS2[s.length() -1] = 1,low2[ans] = s[s.length()-1];
	for(int i = s.length() -2;i>=0;i--){
		if(s[i]<= low2[ans]){
			low2[++ans] = s[i];//low2[++ans]中++ans长度的最长不递减子序列起始值改为s[i]
		}
		if(s[i] == '1'){
			cnt_one++;//ans1记录1的个数
		}
		if(ans == cnt_one){
			low2[ans] = '1';//贪心策略，如果此时ans和 cnt相等，
			                //把长度为 ans 的从左到右最长不递减子序列的起始值改为1，方便后续可以拼接0
		}
		LIS2[i] = ans;
	}//从右到左，求i到s.length()-1的最长不递减子序列
	for(int i = 0;i<s.length() ;i++){
		if(s[i] == '0'){
			zeros++;//前i个元素中0的个数
		}
		if(s[i] == '1'){
			if(zeros + 1 == LIS1[i] && LIS2[i] == LIS2[i+1] + 1){
				s[i] = '0';//如果两者相等，则可以把1改为0
				zeros++;
			}
		}
	}
	cout<<s;
	return 0;
}