【数论】【Polya定理】poj1286 Necklace of Beads

Polya定理：设G={π1，π2，π3........πn}是X={a1，a2，a3.......an}上一个置换群，用m中颜色对X中的元素进行涂色，那么不同的涂色方案数为：1/|G|*(m^C(π1)+m^C(π2)+m^C(π3)+...+m^C(πk)). 其中C(πk)为置换πk的循环节的个数。

Polya定理的基础应用。

你得算出旋转和翻转时，每种置换的循环节数。

旋转时，每种置换的循环节数为gcd（n，i）；

翻转时，若n为奇数，共有n个循环节数为n+1>>1的置换，

若n为偶数，共有n/2个循环节数为n+2>>1的置换和n/2个循环节数为n>>1的置换。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
ll Pow(int x,int p){
	ll res=1;
	for(int i=1;i<=p;++i){
		res*=(ll)x;
	}
	return res;
}
int main(){
	while(1){
		scanf("%d",&n);
		if(n==-1){
			break;
		}
		if(n==0){
			puts("0");
			continue;
		}
		ll sum=0;
		for(int i=1;i<=n;++i){
			sum+=Pow(3,__gcd(n,i));
		}
		if(n&1){
			sum+=(ll)n*Pow(3,n+1>>1);
		}
		else{
			sum+=(ll)(n>>1)*Pow(3,n+2>>1);
			sum+=(ll)(n>>1)*Pow(3,n>>1);
		}
		cout<<sum/(2ll*(ll)n)<<endl;
	}
	return 0;
}