Luogu P3600 随机数生成器

题目描述

sol研发了一个神奇的随机数系统，可以自动按照环境噪音生成真·随机数。

现在sol打算生成$n$个$[1,x]$的整数$a_1...a_n$，然后进行一些询问。

$q$次询问，每次询问i有两个参数$li$和$ri$，sol会计算$\min_{li \leq j \leq ri} a_j$（a数组中下标在$li、ri$之间的数的最小值）。

最后测试结果会是这些询问得到的结果的最大值。

sol进行了很多次实验，现在他想问问你测试结果的期望大小是多少，对$666623333$取模。

输入输出格式

输入格式：

第一行三个数$n、x、q$。

下面q行，第i行两个数表示$li$和$ri$。

输出格式：

一行一个数，表示答案。

输入输出样例

输入样例#1：

2 2 1

1 2

输出样例#1：

499967501

输入样例#2：

输出样例#2：

88571635

根据整数期望公式：

\[\begin{align}
ans&=\sum_{i=1}^xi*p(X=i)\\
&=\sum_{i=1}^xp(X\geq i)\\
&=\sum_{i=1}^x1-p(X<i)
\end{align}
\]

因为是所有的最小值取最大值，所以$p(X<i)$比$p(X\geq i)$好求一些。

我们考虑对每个$i$分别求。

合法情况要求询问的每个区间中至少有一个$<i$的数。如果两个区间有包含关系，很明显大的区间没有用。将剩余的区间按左端点排序后，对于坐标上的每个点，包含它的区间的编号一定是连续的。所以我们将问题转换：有很多区间，选择一个区间的概率为$P$，要选择一些区间将整个坐标轴覆盖，问概率。

很明显这些区间的左右端点都是单调不下降的（去掉无用区间）。设$f_i$表示最后一个选择的区间为$i$，并且将$r_i$以及之前的坐标都覆盖了的概率。

\[f_i=\sum_{r_j\geq l_i-1}f_j*P*(1-P)^{i-j-1}
\]

前缀和优化一下单次$DP$就可以做到$O(n)$了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

#define ll long long

#define N 2005

using namespace std;

inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

const ll mod=666623333;

ll ksm(ll t,ll x) {

	ll ans=1;

	for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)

		if(x&1) ans=ans*t%mod;

	return ans;

}

int n,x,m;

struct interval {

	int l,r;

	bool operator <(const interval &a)const {

		if(l!=a.l) return l<a.l;

		return r>a.r;

	}

}s[N];

interval st[N];

int top;

int L[N],R[N];

ll ans;

ll DP(ll p) {

	if(p==1) return 1;

	static ll f[N],pw[N],inv[N];

	memset(f,0,sizeof(f));

	pw[0]=inv[0]=1;

	for(int i=1;i<=n;i++) pw[i]=pw[i-1]*(mod+1-p)%mod;

	inv[1]=ksm(mod+1-p,mod-2);

	for(int i=2;i<=n;i++) inv[i]=inv[i-1]*inv[1]%mod;

	f[0]=1;

	int lx=0,rx=0;

	ll sum=1;

	for(int i=1;i<=n;i++) {

		while(lx<=i&&R[lx]<L[i]-1) {

			sum=(sum-f[lx]*inv[lx]%mod+mod)%mod;

			lx++;

		}

		while(rx+1<i&&R[rx+1]>=L[i]-1) {

			sum=(sum+f[rx+1]*inv[rx+1])%mod;

			rx++;

		}

		f[i]=sum*p%mod*pw[i-1]%mod;

	}

	ll ans=0;

	for(int i=1;i<=n;i++) {

		if(R[i]==m) (ans+=f[i]*pw[n-i])%=mod;

	}

	return ans;

}

int main() {

	n=Get(),x=Get(),m=Get();

	for(int i=1;i<=m;i++) s[i].l=Get(),s[i].r=Get();

	sort(s+1,s+1+m);

	for(int i=1;i<=m;i++) {

		while(top>=1&&st[top].r>=s[i].r) top--;

		st[++top]=s[i];

	}

	m=top;

	for(int i=1;i<=m;i++) s[i]=st[i];

	for(int i=1;i<=n;i++) {

		for(int j=1;j<=m;j++) if(s[j].l<=i&&i<=s[j].r) R[i]=j;

		for(int j=m;j>=1;j--) if(s[j].l<=i&&i<=s[j].r) L[i]=j;

	}

	top=0;

	for(int i=1;i<=n;i++) {

		if(L[i]&&R[i]) L[++top]=L[i],R[top]=R[i];

	}

	n=top;

	ll invx=ksm(x,mod-2);

	for(int i=1;i<=x;i++) {

		(ans+=mod+1-DP((i-1)*invx%mod))%=mod;

	}

	cout<<ans;

	return 0;

}