NOIP模拟赛 拓展

题目描述 Description###

\(φ\) 函数是数论中非常常用的函数。对于正整数 \(x\) ，\(φ(x)\) 表示不超过 \(x\) 的所有正整数与 \(x\) 互质的个数。

现在我们对它进行一次拓展：对于正整数 \(x\) ,\(y\) ，定义 \(φ(x,y)\) 表示不超过 \(y\) 的所有正整数与 \(x\) 互质的个数。

现在我们给定正整数 \(n\) 和 \(m\) ，对于所有不超过 \(n\) 的正整数 \(i\) ，求 \(φ(i,m)\) 。

输入描述 Input Description###

输入仅一行两个正整数 \(n\) 和 \(m\) 。

输出描述 Output Description###

输出 \(n\) 行，每行一个整数。第 \(i\) 行表示 \(φ(i,m)\) 。

样例输入 Sample Input###

11 10

样例输出 Sample Output###

10
5
7
5
8
3
9
5
7
4
10

数据范围及提示 Data Size & Hint###

\(n \leq 10^5,m \leq 10^{15}\)

之前的一些废话###

题解###

正难则反，我们考虑\(m\) 以内能被\(n\) 整除的所有数，含有所有\(n\) 的因子的很显然是可以的，然后我们就可以通过容斥原理来加加减减来求得这个值，找找规律可以发现，含有平方因子的数不会参与其中的讨论，含有奇数个质因子的数应该是加，含有偶数个质因子的数应该是减，所以我们来一个素数筛来预处理每一个数的符号，然后$\sqrt{i} $ 的时间枚举每一个i的因数，然后进行计算。复杂度$ O(预处理+n\sqrt{n} )$

代码###

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
#define X first
#define Y second
#define mp make_pair
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
inline LL read()
{
    LL x=0,f=1;char c=getchar();
    while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
const int maxn=100000;
int n,prime[maxn],end,sign[maxn+20];
LL m,sum;
bool vis[maxn+20];
void init()
{
	for(int i=2;i<=maxn;i++)
		if(!vis[i])
		{
			prime[++end]=i;
		    for(LL j=(LL)i*(LL)i;j<=(LL)maxn;j+=i)vis[j]=1;
		}
	for(int i=2;i<=maxn;i++)
	{
		if(!vis[i])sign[i]=1;
		if(!sign[i])continue;
		for(int j=1;j<=end && (LL)i*(LL)prime[j]<=maxn;j++)
		{
			if(i%prime[j]==0)sign[i*prime[j]]=0;
			else sign[i*prime[j]]=-sign[i];
		}
	}
}
int main()
{
    init();
	n=(int)read();m=read();
	printf("%lld\n",m);
	for(int i=2;i<=n;i++)
    {
    	int s=(int)sqrt(i);
    	sum=0ll;
    	for(int j=1;j<=s;j++)
    		if(i%j==0)
    		{
	    		if(j!=1)sum+=(m/j)*sign[j];
	    		if(j*j!=i)sum+=(m/(i/j))*sign[i/j];
	    	}
    	printf("%lld\n",m-sum);
    }
    return 0;
}

总结###

找找规律画画图这种题还是比较简单的。

事后发现这玩意居然是莫比乌斯函数，我居然自己推出了这么高深的东西！