OptimalSolution(8)--位运算

　　一、不用额外变量交换两个整数的值

　　如果给定整数a和b，用以下三行代码即可交换a和b的值。a = a ^ b; b = a ^ b; a = a ^ b;

a = a ^ b ：假设a异或b的结果记为c，c就是a整数位信息和b整数位信息的所有不同信息。例如，a=4=100，b=3=011，a^b=c=000
b = a ^ b ：a异或c的结果就是b。比如a=4=100，c=000，a^c=011=3=b，也就是b = a ^ b ^ b = a
a = a ^ b ：b异或c的结果就是a。比如b=3=011，c=000，b^c=100=4=a，也就是a = a ^ b ^ a = 

　　

　　二、不用任何比较判断找出两个数中较大的数

　　问题：给定两个32位整数a和b，返回a和b中较大的。

　　1.得到a-b的值的符号，如果a-b的值出现溢出，返回结果就不正确

　　sign函数返回整数n的符号，整数和0返回1，负数返回0。如果a-b的结果为0或整数，那么scA=1，scB=0，return a ；如果a-b的值为负数，那么scA=0，scB=1，return b；

public int flip(int n){
    return n ^ 1;
}

public int sign(int n){
    return flip((n>>31)&1);
}

public int getMax1(int a, int b){
    int c = a - b;
    int scA = sign(c);
    int scB = flip(scA);
    return a * scA + b * scB;
}

　　2.彻底解决溢出的问题

　　情况1：如果a和b的符号不同（disSab == 1，sameSab==0），则有

　　  如果a为0或正，b为负（sa == 1，sb == 0），那么returnA与sc无关，为sa==1，returnB=0，返回a

　　　　如果a为负，b为0或正（sa==0，sb==1），那么returnA==0，returnB=1，返回b

　　情况2：如果a和b的符号相同（difSab==0，sameSab=1），那么此时a-b的值绝对不会溢出：

　　　　如果a-b为0或正（sc==1），那么returnA=sc=1，returnB=0，返回a

　　　　如果a-b为负（sc==0），那么returnA=0，returnB=1，返回b

public int getMax2(int a, int b){
    int c = a - b;
    int sa = sign(a);
    int sb = sign(b);
    int sc = sign(c);
    int difSab = sa ^ sb;
    int sameSab = flip(difSab);
    int returnA = difSab * sa + sameSab * sc;
    int returnB = fiip(returnA);
    return  a * returnA + b * return B;
}

　　

　　三、整数的二进制表达式中有多少个1

　　问题：给定一个32位整数n，可为0，可为正，可为负，返回该整数二进制表达式中1的个数

　　1.整数n每次进行无符号右移(>>>)一位，检查最右边的bit是否为1。需要经过32次循环

public int count1(int n){
    int res = 0;
    while(n!=0){
        res += n & 1;
        n >>> = 1;
    }
}

　　2.循环次数只和1的个数有关的解法。每进行一次n &= (n-1);操作，接下来在while循环中就可以忽略掉bit位上为0的部分。

　　例如，n=01000100，n-1=01000011，n&(n-1)=01000000，res=1，然后，n=01000000，n-1=00111111，n&(n-1)=00000000，res=2，结束。

　　因此，n&(n-1)操作实际上是抹掉n最右边的那一个1。

public int count2(int n){
    int res = 0;
    while(n != 0){
        n &= (n-1);
        res++;
    }
    return res;
}  

　　3.同方法2，只不过是将n&(n-1)操作改成n -= n & (~n+1)，也是移除最右侧的1的过程。n & (~n+1)是得到n中最右侧的1

　　例如：n=01000100，~n=10111011，~n+1=10111100，n & (~n+1) = 00000100，n - n & (~n+1) = 01000100，同理。

　　

　　四、在其他数都出现偶数次的数组中找到出现奇数次的数

　　问题一：只有一个数出现了奇数次，其他的数都出现了偶数次

public void printOddTmesNum1(int[] arr){
    int eO = 0;
    for(int cur : arr){
        eO ^= cur;
    }
    System.out.println(eO);
}

　　问题二：有两个数出现了奇数次，其他的数出现了偶数次

　　主要关注：int rightOne = eO & (~eO + 1);这个操作是得到eO最右边的1表示的数，例如01000100经过操作后变成00000100

public void printOddTimesNum2(int[] arr){
    int eO = 0, eOhasOne = 0;
    for(int curNum : arr){
        eO ^= curNum;
    }
    int rightOne = eO & (~eO + 1);
    for(int cur : arr){
        if((cur & right) != 0){
               eOhasOne ^= cur;
        }
    }
     System.out.println(eOhasOne + " " + (eO ^ eOhasOne));
}

　　五、在其他数都出现k次的数组中找到只出现一次的数

　　问题：给定一个整型数组arr和一个大于1的整数k，已知arr中只有1个数出现了1次，其他的数都出现了k次，返回只出现1次的数

两个七进制的数，忽略进位相加：
a ： 6 4 3 2 6 0 1
b ： 3 4 5 0 1 1 1
c ： 2 1 1 2 0 1 2

　　思路：上面的计算中，第i位上无进位相加的结果就是c[i] = (a[i] + b[i])%7。同理，k进制的两个数a和b，在第i位上相加的结果就是c[i] = (a[i] + b[i])%k。那么，如果k个相同的k进制数进行无进位相加，根据c[i] = (k * a[i] + k * b[i])%k，可知，相加的结果一定是每一位上都是0的k进制数。

　　解法：设置一个变量eO，它是一个32位的k进制数，且每个位置上都是0。然后遍历arr，把遍历到的每一个整数都转换为k进制数，然后与e0进行无进位相加。遍历结束后，把32位的k进制数eORes转换成十进制就是要求的结果。

　　函数1：将十进制的数转换成32位k进制的数组

public int[] getKSysNumFromNum(int value, int k){
    int[] res = new int[32];
    int index = 0;
    while(value != 0){
        res[index++] = value % k;
        value = value / k;
    }
    return res;
}

　　函数2：将表示k进制的数组转换成十进制的数

public int getNumFromKSysNum(int[] eO, int k){
    int res = 0;
    for(int i = eO.length - 1 ; i != -1; i--){
        res = res * k + eO[i];
    }
    return res;
}

　　函数3：将十进制的value转换成curKSysNum数组表示的32位k进制数后无进位地加到eO数组的每一位上

public void setExclusiveOf(int[] eO, int value, int k){
    int[] curKSysNum = getKSysNumFromNum(value, k);
    for(int i = 0; i != eO.length; i++){
        eO[i] = (eO[i] + curKSysNum[i]) % k;
    }
}

　　函数4，将arr中所有的数转换成32位k进制后加到eO变量的每一位上，然后将eO变量转换成十进制的数并返回

public int onceNum(int[] arr, int k){
    int[] eO = new int[32];
    for(int i = 0; i != arr.length; i++){
        setExclusiveOr(eO, arr[i], k);
    }
    int res = getNumFromKSysNum(eO, k);
    return res;
}

　　六、只用位运算不用算术运算实现整数的加减乘除运算

　　题目：给定两个32位整数a和b，可正，可负，可0。不能使用算术运算符，分别实现a和b的加减乘除运算。如果给定的a和b执行加减乘除的某些结果本来就会导致数据的溢出，那么不用为那些结果负责。

　　1.用位运算实现加法运算

　　注意：初始化sum=a，是为了考虑当b为0时，无法进入while循环执行sum = a ^ b；这个操作。

public int add(int a, int b){
    int sum = a;
    while( b != 0){
        sum = a ^ b;
        b = (a & b) << 1;
        a = sum;
    }
    return sum;
}

　　分析实现过程：

1.如果不考虑进位，a^b就是正确结果，因为1加1=0，1加0=1，0加1=1，0+0=0
例如：
a：0 0 1 0 1 0 1 0 1
b：0 0 0 1 0 1 1 1 1
c：0 0 1 1 1 1 0 1 0
2.在只算进位的情况下，也就是a加b过程中由于进位产生的值是什么，就是(a&b)<<1，因为在第i位上只有1和1相加才会产生上一位即i-1位的进位
a：0 0 1 0 1 0 1 0 1
b：0 0 0 1 0 1 1 1 1
d：0 0 0 0 0 1 0 1 0（从右数第1位和第3位需要进位，因此在相加的过程中，第2位和第4位上需要加上1，因此(a&b)<<1）
3.把第1步的不考虑进位的相加值与第2步的只考虑进位的产生值再相加，就是最终的结果。由于过程中可能还会产生进位，所以需要重复直到进位产生的值完全消失。
a：0 0 1 0 1 0 1 0 1
b：0 0 0 1 0 1 1 1 1
c：0 0 1 1 1 1 0 1 0
d：0 0 0 0 0 1 0 1 0

c：0 0 1 1 1 0 0 0 0
d：0 0 0 0 1 0 1 0 0

c：0 0 1 1 0 0 1 0 0
d：0 0 0 1 0 0 0 0 0

c：0 0 1 0 0 0 1 0 0
d：0 0 1 0 0 0 0 0 0

c：0 0 0 0 0 0 1 0 0
d：0 1 0 0 0 0 0 0 0

c：0 1 0 0 0 0 1 0 0（返回）
d：0 0 0 0 0 0 0 0 0

　　2.用位运算实现减法运算

　　实现a-b，只要实现a+(-b)即可。一个数的相反数，就是这个数的二进制数表达取反加1（补码）。

public int negNum(int n){
    return add(~n, 1);
}

public int minus(int a, int b){
    return add(a, negNum(b));
}

　　3.用位运算实现乘法运算

　　a*b=a * 2⁰ * b₀ + a * 2¹ * b₁ + a * 2² * b₂ + ... + a * 2³¹ * b₃₁（b_i表示的是二进制中第i位的值，从左起0开始）

public int multi(int a, int b){
    int res = 0;
    while(b != 0){
    if((b & 1) != 0){
        res = add(res, a);
    }
    a <<= 1;
    b >>> = 1;
    return res;
}

　　分析执行过程：

假设a=22=000010110，b=13=000001101，res=0
a：0 0 0 0 1 0 1 1 0
b：0 0 0 0 0 1 1 0 1
r：0 0 0 0 0 0 0 0 0
b的最右侧是1，所以res = res + a，同时b右移一位，a左移一位
a：0 0 0 1 0 1 1 0 0
b：0 0 0 0 0 0 1 1 0
r：0 0 0 0 1 0 1 1 0
b的最右侧是0，res不变，同时b右移一位，a左移一位
a：0 0 1 0 1 1 0 0 0
b：0 0 0 0 0 0 0 1 1
r：0 0 0 0 1 0 1 1 0
b的最右侧是1，res = res + a，同时b右移一位，a左移一位
a：0 1 0 1 1 0 0 0 0
b：0 0 0 0 0 0 0 0 1
r：0 0 1 1 0 1 1 1 0
b的最右侧是1，res = res + a，同时b右移一位，a左移一位
a：1 0 1 1 0 0 0 0 0
b：0 0 0 0 0 0 0 0 0
r：1 0 0 0 1 1 1 1 0
b为0，返回res=100011110=286

　　4.用位运算实现除法运算

　　用位运算实现除法运算，其实就是乘法的逆运算。

　　（1）a和b都不为负数或者如果a和b中有一个负数或者都为负数时，可以先把a和b转成正数，计算完成后再看res的真实符号即可（正负得负、负负得正、正正得正）。

public boolean isNeg(int n){
    return n < 0;
}

public int div(int a, int b){
    int x = isNeg(a) ? negNum(a) : a;
    int y = isNeg(b) ? negNum(b) : b;
    int res = 0;
    for(int i = 31; i > -1; i = minus(i,1){
        if(x >= (y << i)){
            res |= (1<<i);
            x = minus(x, y<<i);
            }
    }
    return isNeg(a) ^ isNeg(b) ? negNum(res) : res;
}

　　如果b*res=a，那么a=b * 2⁰ * res₀ + b * 2¹ * res₁ + b * 2² * res₂ + ... + b * 2³¹ * res₃₁

　　分析执行过程：让b向左移动i次，即b * 2ⁱ，然后观察a是否b * 2ⁱ，如果大于，就令res的第i位等于1，然后让a - b * 2ⁱ为a，然后反复操作。

假设a=286=100011110，b=22=000010110，res=0
a：1 0 0 0 1 1 1 1 0
b：0 0 0 0 1 0 1 1 0
r：0 0 0 0 0 0 0 0 0
（i=3时）a = a - b * 2

³

a：0 0 1 1 0 1 1 1 0
b：0 0 0 0 1 0 1 1 0
r：0 0 0 0 0 1 0 0 0
（i=2时）a = a - b * 2

²

（i=2时）
a：0 0 0 0 1 0 1 1 0
b：0 0 0 0 1 0 1 1 0
r：0 0 0 0 0 1 1 0 0
（i=1时）b向左移动一位后大于a，说明a已经不能包含b * 2

¹

，
a：0 0 0 0 1 0 1 1 0
b：0 0 0 0 1 0 1 1 0
r：0 0 0 0 0 1 1 0 1
（i=0时）b向左移动一位后a==b，说明剩下的a还能包含一个b * 2

⁰

，即res0=1，此时说明a已经被完全分解干净，返回res=000001101=13

　　（2）以上方法可以算绝大多数情况，但是int类型的整数最小值为-2147483648，最大值为2147483647，最小值的绝对值比最大值的绝对值大1，所以，如果a或b等于最小值，是转不成相对应的正数的（~n + 1）。

　　即有下面四种情况：

• 如果a和b都不为最小值，直接使用div(a,b)
• 如果a和b都为最小值，直接返回1
• 如果a不为最小值，而b为最小值，直接返回0
• 如果a为最小值，b不为最小值，怎么办？

　　假设整数的最大值为9，最小值为-10，当a和b都属于[-9,9]时，也就是情况1；当a和b都等于-10时，也就是情况2；当a属于[-9,9]，而b等于-10时，也就是情况3；

　　那么，当a=-10，而b属于[-9,9]时，

　　第一步：假设a=-10，b=5

　　第二步：计算(a+1)/b的结果，记为c，即c=-9/5=-1

　　第三步：计算c*b的结果，即-1*5=-5

　　第四步：计算(a - (c * b))/b，记为rest，意义是修正值，即(-10 - (-5))/5=-1，得到的是修正值，即rest=-1

　　第五步：返回c+rest，即-9

　　即a/b的值可以表示为

　　综上，除法运算的全部过程为：（注意要有异常处理的过程。）

public int divide(int a, int b){
    if(b==0){
        throw new RuntimeException("divided is 0");
    }
    if(a == Integer.MIN_VALUE && b == Integer.MIN_VALUE){
        return 1;
    } else if(b == Integer.MIN_VALUE){
        return 0;
    } else if(a == Integer.MIN_VALUE){
        int res = div(add(a,1),b);
        return add(res, div(minus(res, b)), b));
    } else{
        return div(a, b);
    }
}

　　七、O(n)时间复杂度得到输入数组中某两个数异或的最大值。

　　例如：[3, 10, 5, 25, 2, 8]中，5^25的最大值是28

　　思路：比特位操作。

　　解法：

　　　　生成变量max，表示

　　　　生成变量mask，表示，

　　　　XOR性质，A^B=C → A^B^B=C^B → A=C^B 则tmp ^ prefix = max →

3  →  0 0 0 1 1
10 →  0 1 0 1 0
5  →  0 0 1 0 1
25 →  1 1 0 0 1
2  →  0 0 0 1 0
8  →  0 1 0 0 0

i=4时，mask=10000， set={00000,10000}，tmp=10000，prefix=00000, max=10000
i=3时，mask=11000， set={00000,01000,11000}，tmp=11000，prefix=00000，max=11000
i=2时，mask=11100， set={00000，01000,00100,11000}，tmp=11100，prefix=00100，max=11100
i=1时，mask=11110， set={00010,01010，00100，11000，01000}，tmp=11110，set中不包含
i=0时，mask=11111， set={00011,01010,00101,11001,00010,01000}，tmp=11111，set不包含