树链剖分I 原理

树链剖分（Heavy Light Decomposition, HLD）是一种将对【树上两点间的路径】上【边或点】的【修改与查询】转化到【序列】上来处理的方法。

目的：将树的边或点转化到一个线性结构（序列）上。
方法：
1. 将节点u到其所有子节点{v}的边分成一条『重边』和余下的若干条『轻边』。
2. 如何把各边顺次连接成一条链：
特殊的『边DFS序』————v的『父边』的后继是v的重『边』。
3. 如何将对『树上路径』的修改操作转化到线性结构上：
按2.的转化方法，重链上的边在序列中是连续的。更进一步，一条重链的『底端』到其『顶端的父节点』这条链上的边是连续的。
4. 树链剖分的精髓：
『有根树』结构的核心特征是：每个节点有唯一前驱，但有多个后继。线性结构的核心特征是每个节点有唯一前驱和唯一后继。
现在采用轻重划分，给每个节点找到一个特殊的“唯一”后继，就相当于在树结构上增加了线性成分，或者说把树往序列转化。

形式化地说，树链剖分是下述剖分问题的一个方案（解法）

$将树T=(V, E)的点集V划分成m个\textbf{不相交}的非空子集V_1, V_2, \cdots,V_m使得每个点集的\textbf{生成子图}是一条链.$

有根树和无根树

任意指定无根树的某个定点$v$作为根便得到有根树。下面只讨论有根树。

HLD具有以下性质：

$从根节点到任一节点所经过的上述子集V_i的数目为O(\log{n}), n是树的节点数.$