BZOJ 1009 【HNOI2008】 GT考试

Description

　　阿申准备报名参加GT考试，准考证号为N位数X1X2....Xn(0<=Xi<=9),他不希望准考证号上出现不吉利的数字。
他的不吉利数学A1A2...Am(0<=Ai<=9)有M位，不出现是指X1X2...Xn中没有恰好一段等于A1A2...Am. A1和X1可以为0

Input

　　第一行输入N,M,K.接下来一行输入M位的数。 N<=10^9,M<=20,K<=1000

Output

　　阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种，输出模K取余的结果.

 

　　这道题一眼看去像是一道容斥dp，仔细思考后发现其实普通的dp就可以做了。

　　我们令$f_{i,j}$表示准考证号确定了前i位，其中最后一段已经和不吉利串匹配了$j$位的方案数。那么，显然我们只需要枚举每一位选什么数字即可。至于加了一位数字之后最后一段匹配了多少位，完全可以用$kmp$来解决。因为$kmp$算法中$next$数组的含义就是不为整个串的前缀与后缀相等的最大长度。

　　但是，这样的复杂度是$O(NM^2)$的。观察发现，$M$特别小，于是可以把转移矩阵预处理出来，使用矩阵快速幂优化即可。

　　下面贴代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)

using namespace std;
typedef long long llg;

int n,m,k,nt[22],ans;
char s[22];
void gi(int &x){if(x>=k) x%=k;}
struct matrix{
    int w[23][23];
    matrix(){memset(w,0,sizeof(w));}
    void fu(){for(int i=0;i<m;i++) w[i][i]=1;}
    matrix operator * (const matrix &h)const{
        matrix a;
        for(int i=0;i<m;i++)
            for(int j=0;j<m;j++)
                for(int k=0;k<m;k++)
                    a.w[i][j]+=w[i][k]*h.w[k][j],gi(a.w[i][j]);
        return a;
    }
}A,Aa;

int getint(){
    int w=0;bool q=0;
    char c=getchar();
    while((c>'9'||c<'0')&&c!='-') c=getchar();
    if(c=='-') c=getchar(),q=1;
    while(c>='0'&&c<='9') w=w*10+c-'0',c=getchar();
    return q?-w:w;
}

matrix mi(matrix a,int b){
    matrix s; s.fu();
    while(b){
        if(b&1) s=s*a;
        a=a*a; b>>=1;
    }
    return s;
}

int main(){
    File("a");
    n=getint(); m=getint(); k=getint();
    scanf("%s",s+1);
    for(int i=2,j=0;i<=m;i++){
        while(j && s[j+1]!=s[i]) j=nt[j];
        if(s[j+1]==s[i]) j++;
        nt[i]=j;
    }
    for(int i=0,x;i<m;i++)
        for(int j=0;j<=9;j++){
            x=i;
            while(x && s[x+1]-'0'!=j) x=nt[x];
            if(s[x+1]-'0'==j) x++;
            if(x<m) A.w[i][x]++;
        }
    Aa=mi(A,n);
    for(int i=0;i<m;i++) ans+=Aa.w[0][i],gi(ans);
    printf("%d",ans);
}