BZOJ3240 [Noi2013]矩阵游戏

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本文作者：ljh2000
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Description

婷婷是个喜欢矩阵的小朋友,有一天她想用电脑生成一个巨大的n行m列的矩阵(你不用担心她如何存储)。她生成的这个矩阵满足一个神奇的性质：若用F[i][j]来表示矩阵中第i行第j列的元素，则F[i][j]满足下面的递推式:

F[1][1]=1
F[i,j]=a*F[i][j-1]+b (j!=1)
F[i,1]=c*F[i-1][m]+d (i!=1)
递推式中a,b,c,d都是给定的常数。

现在婷婷想知道F[n][m]的值是多少,请你帮助她。由于最终结果可能很大，你只需要输出F[n][m]除以1,000,000,007的余数。

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Input

一行有六个整数n,m,a,b,c,d。意义如题所述

Output

包含一个整数，表示F[n][m]除以1,000,000,007的余数

Sample Input

3 4 1 3 2 6

Sample Output

85

HINT

样例中的矩阵为：

1 4 7 10

26 29 32 35

76 79 82 85

1<=N,M<=10^1000 000,a<=a,b,c,d<=10^9

正解：费马小定理+快速幂+递推公式

解题报告：

　　大多数题解写的都是矩乘+快速幂的，感觉不用那么麻烦，只需要一点点高一课堂上讲过的推出递推式子就可以了。

　　推导过程其实挺简单的，就是根据那个式子，先推导出f[i,m]和f[i,1]的关系，然后得到f[i+1,1]，再根据新的式子得到f[n+1,1]和f[1,1]的关系，反推得到f[n,m]即可。

　　具体推导的话直接复制别人的了，很详细：（参考博客链接：http://www.cnblogs.com/iiyiyi/p/5617598.html）

 //It is made by ljh2000
 #include <iostream>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <cstdio>
 #include <cmath>
 #include <algorithm>
 #include <ctime>
 #include <vector>
 #include <queue>
 #include <map>
 #include <set>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const int inf = (<<);
 const int MAXN = ;
 const int mod = ;
 const int MOD = ;
 int n,m,len;
 int k1[],k2[];
 int mi[]={,,,,,,,,};
 char ch[MAXN];
 LL a,b,c,d,A,B,ans,ans2,C,D;
 //A=c*a^(m-1)
 //B=( ( b*c*(a^(m-1)-1) ) / (a-1) )+d

 inline int getint()
 {
     int w=,q=; char c=getchar();
     while((c<'' || c>'') && c!='-') c=getchar(); if(c=='-') q=,c=getchar();
     while (c>='' && c<='') w=w*+c-'', c=getchar(); return q ? -w : w;
 }
 inline LL fastpow(LL x,LL y){
     if(x== || y==) return ;
     LL base=x,r=;
     while(y>) {
     if(y&) r*=base,r%=mod;
     base*=base; base%=mod; y>>=;
     }
     return r;
 }
 inline LL ni(LL x){ return fastpow(x,mod-); }
 inline LL fastpow_m(){
     LL res=; LL mm=;//对指数取模
     for(int i=;i<=m;i++) res+=mm*k2[i]%(mod-),mm*=MOD,mm%=(mod-),res%=(mod-);
     return fastpow(a,res);
     /*
     LL r=1,base=a;
     while(m) {
     if(k2[1]&1) r*=base,r%=mod;
     base*=base; base%=mod;
     for(int i=m;i>=1;i--) {
         if(k2[i]&1) k2[i-1]+=MOD;
         k2[i]>>=1;
     }
     while(k2[m]==0 && m>0) m--;
     }
     return r;*/
 }

 inline LL fastpow_n(LL di){
     LL res=; LL mm=;//对指数取模
     for(int i=;i<=n;i++) res+=mm*k1[i]%(mod-),mm*=MOD,mm%=(mod-),res%=(mod-);
     return fastpow(di,res);
     /*
     LL r=1,base=di;
     while(n) {
     if(k1[1]&1) r*=base,r%=mod;
     base*=base; base%=mod;
     for(int i=n;i>=1;i--) {
         if(k1[i]&1) k1[i-1]+=MOD;
         k1[i]>>=1;
     }
     while(k1[n]==0 && n>0) n--;
     }
     return r;*/
 }

 inline void getAB(){
     A=fastpow_m(); A*=ni(a); A%=mod; //A=a^(m-1)
     B=A; B--; B*=b; B%=mod; B*=c; B%=mod;
     B*=ni(a-); B%=mod; B+=d; B%=mod; A*=c; A%=mod;
 }

 inline void over(){
     ans-=d; ans+=mod; ans%=mod; ans*=ni(c); ans%=mod;
     printf("%lld",ans);
 }

 inline void work(){
     scanf("%s",ch); len=strlen(ch); n=; int now=;
     int gi=;
     for(int i=len-;i>=;i--) {
     now=now+(ch[i]-'')*mi[gi];//!!!
     gi++;
     if(now>=MOD || gi>=) {
         gi=;//!!!
         k1[n]+=now%MOD;
         k1[++n]=now/MOD;
         now=;//!!!
     }
     }
     k1[n]+=now; while(k1[n]==) n--;

     scanf("%s",ch); len=strlen(ch); m=; now=;
     gi=;
     for(int i=len-;i>=;i--) {
     now=now+(ch[i]-'')*mi[gi]; gi++;
     if(now>=MOD || gi>=) {
         gi=;
         k2[m]+=now%MOD;
         k2[++m]=now/MOD;
         now=;
     }
     }
     k2[m]+=now; while(k2[m]==) m--;
     a=getint(); b=getint(); c=getint(); d=getint();
     if(a!=) {
     getAB();
     if(A!=) {
         ans=fastpow_n(A); ans%=mod;
         ans2=ans-; ans2+=mod; ans2%=mod; ans2*=B; ans2%=mod;
         ans2*=ni(A-); ans2%=mod; ans+=ans2; ans%=mod;
     }
     else{//特判A==1
         LL res=,mm=; for(int i=;i<=n;i++) res+=mm*k1[i]%mod,mm*=MOD,mm%=mod,res%=mod;
         ans=res*B; ans++; ans%=mod;
     }
     over();
     }
     else {
     D=c*b; D%=mod; LL res=,mm=;
     for(int i=;i<=m;i++) res+=mm*k2[i]%mod,mm*=MOD,mm%=mod,res%=mod;
     res--; res+=mod; res%=mod; D*=res; D%=mod; D+=d; D%=mod;
     if(c==) {
         res=; mm=;   for(int i=;i<=n;i++) res+=mm*k1[i]%mod,mm*=MOD,mm%=mod,res%=mod;
         D*=res; D%=mod; ans=D+;
         over();
     }
     else{
         C=fastpow_n(c);
         ans=C; C-=; C*=ni(c-); C%=mod;
         ans+=D*C; ans%=mod;
         over();
     }
     }
 }

 int main()
 {
     work();
     return ;
 }