珂朵莉树（老司机树，ODT，颜色段均摊）

前言

在宿舍里有人说珂朵莉树写起来比shi山线段树方便多了。

正文

珂朵莉树，又名老司机树，颜色段均摊，ODT。

可以在数据完全随机化的情况下较快的完成一些操作（所以容易被卡）。

珂朵莉树其实形态并不像树，基于set或是链表，是一种很暴力的数据结构。

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先来看一到例题（珂朵莉树起源题）

CF896C

题目大意：

有一个序列,你需要编写程序支持以下操作：

1 l r x ：将[l,r]区间所有数加上x

2 l r x ：将[l,r]区间所有数改成x

3 l r x ：输出将[l,r] 区间从小到大排序后的第x个数是的多少

4 l r x y ：输出[l,r] 区间每个数字的x次方的和模y的值

天哪线段树直接报废

进入正题：

珂朵莉树的每个节点由一个三元组组成 \((l,r,val)\) 表示从 \(l \sim r\) 这段区间中的值都是 \(val\)。

例如：

\(1,1,3,3,3,3,2,2,2,1,1,1\)，构造时长这样：

\((1,2,1),(3,6,3),(7,9,2),(10,12,1)\)

珂朵莉树中的点按 \(l\) 排序。

操作1：

例如我想让 \(2 \sim 11\) 中的数 \(+1\)

但是：这并不是几个整个节点，所以我们需要拆点。

核心：区间分割

现在我们可以将 \((1,2,1)\) 变为 \((1,1,1)\) 和 \((2,2,1)\)，将 \((10,12,1)\) 变为 \((10,11,1)\) 和 \((12,12,1)\)。

接着我们就可以将 \((2,2,1),(3,6,3),(7,9,2),(10,11,1)\) 中的 \(val\) 都 \(+1\)

所以我们将 split(x) 定义为找到 \(x\) 所在的区间 \((l,r,val)\) 将其分为 \((l,x-1,val)\) 和 \((x,r,val)\) 并返回 \((x,r,val)\) 的迭代器。

代码：

点击查看代码

struct node{
	int l,r;
	mutable int v;//mutalbe  可变，可以修改此值，一定要加，不然无法修改v
	bool operator < (const node&W)const
	{
		return l<W.l;
	}
};
set<node> tree;
auto split(int x)
{
	auto it=tree.lower_bound({x,0,0});
	if(it!=tree.end()&&it->l == x)
	{
		return it;
	}
	it--;
	int l=it->l,r=it->r,v=it->v;
	tree.erase(it);
	tree.insert({l,x-1,v});
	return tree.insert({x,r,v}).first;
}

核心：区间推平

这个很好办，直接看代码：

点击查看代码

void assign(int l,int r,int v)
{
	auto itr=split(r+1),itl=split(l);
	tree.erase(itl,itr);//erase 左闭又开
	tree.insert({l,r,v});
}

注意：

一定要先进行split(r+1)在进行split(l) 否则会RE

例如 \((1,4,1),l=1,r=2\)

若先进行split(l):

itl=(1,4,1)的迭代器

split(r+1)

此时 \((1,4,1)\) 会被分裂成 \((1,2,1)\) 和 \((3,4,1)\)

此时的 \((1,4,1)\) 已经被删掉了，所以 \(itl\) 就是一个野指针，遍历时会出问题。

add操作

解决了问题，add操作就很好写。

点击查看代码

void add(int l,int r,int v)
{
  auto itr=split(r+1),itl=split(l+1);
  for(auto it=itl;it!=itr;it++)
  {
    it->v+=v;
  }
}

别的也是类似于这样。

珂朵莉树的总代码（核心部分）

点击查看代码

struct node{
	int l,r;
	mutable int v;//mutalbe  可变，可以修改此值
	bool operator < (const node&W)const
	{
		return l<W.l;
	}
};
set<node> tree;
auto split(int x)
{
	auto it=tree.lower_bound({x,0,0});
	if(it!=tree.end()&&it->l == x)
	{
		return it;
	}
	it--;
	int l=it->l,r=it->r,v=it->v;
	tree.erase(it);
	tree.insert({l,x-1,v});
	return tree.insert({x,r,v}).first;
}
void assign(int l,int r,int v)
{
	auto itr=split(r+1),itl=split(l);
	tree.erase(itl,itr);
	tree.insert({l,r,v});
}
void build(int l,int r,int *a)
{
	tree.clear();
	int pos=l;
	for(int i=l+1;i<=r;i++)
	{
		if(a[pos]!=a[i])
		{
			tree.insert({pos,i-1,a[pos]});
			pos=i;
		}
	}
	tree.insert({pos,r,a[pos]});
}

变种

珂朵莉树其实也可以建立在值域上（类似于权值线段树）

此时的node变为：

\((val,cnt)\) 表示 \(val\) 出现了 \(cnt\) 次，按 \(val\) 排序。

剩余操作和上面差不多。