UVA 1515 Pool construction 水塘（最大流，经典）

题意：

　　给一个h*w的矩阵，每个格子中是'#'和'.'两个符号之一，分别代表草和洞。现在要将洞给围起来（将草和洞分离），每条边需花费b元（即将一个洞包起来需要4边，将2个连续的洞包起来需要6边，省了2条边）。有个特殊能力，能将洞变成草，花费f。当然也能将草变成洞，花费d。围起洞来需要多少花费。矩阵四周最边边的格子都必须是草，即出现洞就必须转草。

　　转换：洞--->草--->洞

　　    　　  f　　   d   　　(元/格)

　　围洞： b元/边。

思路：

　　如果能够尽量让洞都靠在一起，那肯定是最小花费，因为少了很多条边。但是转换并不是免费，如果太贵，还不如不转，直接围。

　　这很像用一条绳子将洞给围起来，然后量绳子的周长。如果将格子看成点，那么就很像一个'割'（即将点分成两个集合）。问题是如何建模？

　　可以这么想，假设草上面都是水，自然就会流进洞里面，那么相邻的如果是草跟洞，则这条边就会有流通过，容量最多是b（相当于绳子的一部分）。这样子每个相邻的格子都需要建2条边互指（当然需要反向边），容量都是b，使得水可以流向洞中，花费就是流量。如果此时跑一次最大流（得加源汇点），就相当于求出不作'草洞'转换的围洞花费了。

　　但是问题是可以转来转去，如果草转洞很便宜，则应多转成洞。这样就需要协调了。水往低处流。我们在源点S到所有边边的草格子建立1条边，容量INF，接着，S连到所有其他的草格子，容量为d。其他的洞格子连到汇点T，容量为f。还有，每个格子和相邻的格子都有2条边，容量是b。新图就建完了，但是为什么这么做？

　　如下图，9个格子，4个草格子（边边被去掉）：

　　. . .

　　.#.

　　###

　　明显，d比较小时，红色那块应该转洞，3段变1段花费。多小合适？d+b<3b时就合适，因为转的费用d，加上流进该新洞的流b，比原来需要3b要少。我们所设的（S-红草）这条边的容量是d，当满流时，也会从'红草'流向3个方向的洞中去，由红草流出的最大流不超过3b。此时，红草下的黑草，设为黑草A，它最多有b的流量可以流到红草喔，但是没办法，红草能承担的上限也只能是3b。若（S-红草）的流量>0，相当于帮忙减小了红草的压力，红草此时只是承受了来自S的d流量，还有黑草A的流量b而已。这样流来流去，红草流出的上限为3b，但是如果S给红草的d太小，即使加上黑草A的b，也是到达不了上限3b的，那么自动就被限流了。这个模型自动就被限流了，好像自动帮我们选择了“最省钱的方式”。同理，（洞-T） 也是这样，流到草格子B的流量欲超过f的话，还不如直接转成草，限流f就相当于自动转成草，如果少于f则相当于不转。

 #include <bits/stdc++.h>
 #define LL long long
 #define pii pair<int,int>
 #define INF 0x7f7f7f7f
 using namespace std;
 const int N=;
 char g[][];
 vector<int> vect[N];
 struct node
 {
     int from, to, cap, flow;
     node(){};
     node(int a,int b,int c,int d):from(a), to(b), cap(c), flow(d){};
 }edge[N*];

 int edge_cnt;
 void add_node(int a,int b,int c,int d)
 {
     edge[edge_cnt]=node(a,b,c,d);
     vect[a].push_back(edge_cnt++);
 }

 bool isOk(int x,int y,int h,int w){return x>&&x<=h&&y>&&y<=w? : ;}//判断是否在矩阵内

 void build_graph(int h, int w,int b, int d,int f)//建图。
 {
     for(int i=; i<=h; i++)
     {
         for(int j=; j<=w; j++)
         {
             if( isOk(i, j-, h, w) )    //左边
             {
                 add_node((i-)*w+j-, (i-)*w+j, b, );
                 add_node((i-)*w+j, (i-)*w+j-, , );
             }
             if( isOk(i, j+ ,h, w) )  //右边
             {
                 add_node((i-)*w+j+, (i-)*w+j, b, );
                 add_node((i-)*w+j, (i-)*w+j+, , );
             }
             if( isOk(i-, j, h, w) )  //上边
             {
                 add_node((i-)*w+j, (i-)*w+j, b, );
                 add_node((i-)*w+j, (i-)*w+j, , );
             }
             if( isOk(i+,j, h, w)  )  //下边
             {
                 add_node((i-)*w+j, i*w+j, b, );
                 add_node(i*w+j, (i-)*w+j, , );
             }

         }
     }

     for(int i=; i<=h; i++)
     {
         for(int j=; j<=w; j++)
         {
             if(i==||i==h || j==||j==w)  //边边的草
             {
                 add_node(, (i-)*w+j, INF, );
                 add_node((i-)*w+j, , , );
             }
             else if(g[i][j]=='#')   //源点-草
             {
                 add_node(, (i-)*w+j, d, );
                 add_node((i-)*w+j, , , );
             }
             else    //洞-汇点
             {
                 add_node((i-)*w+j, w*h+, f, );
                 add_node(w*h+, (i-)*w+j, , );
             }
         }
     }
 }

 int flow[N], path[N];

 int BFS(int s,int e)
 {
     deque<int> que(,s);
     flow[s]=INF;
     while(!que.empty())
     {
         int x=que.front();
         que.pop_front();
         for(int i=; i<vect[x].size(); i++)
         {
             node e=edge[vect[x][i]];
             if(!flow[e.to]&&e.cap>e.flow)
             {
                 path[e.to]=vect[x][i];
                 flow[e.to]=min(flow[e.from], e.cap-e.flow);
                 que.push_back(e.to);
             }
         }
         if(flow[e]) break;;
     }
     return flow[e];
 }

 int max_flow(int s,int e)
 {
     int ans_flow=;
     while(true)
     {
         memset(flow,,sizeof(flow));
         memset(path,,sizeof(path));

         int tmp=BFS(s, e);
         if(tmp==)  return ans_flow;
         ans_flow+=tmp;

         int ed=e;
         while(ed!=s)
         {
             int t=path[ed];
             edge[t].flow+=tmp;
             edge[t^].flow-=tmp;
             ed=edge[t].from;
         }
     }
 }

 int main()
 {
     freopen("input.txt", "r", stdin);
     int t, w, h, d, f, b;
     char c;
     cin>>t;
     while(t--)
     {
         scanf("%d%d %d%d%d", &w, &h, &d, &f,&b);
         edge_cnt=;
         memset(edge,,sizeof(edge));
         for(int i=N-; i>=; i--)   vect[i].clear();

         for(int i=; i<=h; i++)
         {
             for(int j=; j<=w; j++)
             {
                 c=getchar();
                 if(c=='#'||c=='.')    g[i][j]=c;
                 else    j--;
             }
         }
         int ans=;
         //处理掉四周：洞转草花费f元/格
         for(int i=; i<=w; i++) if(g[][i]!='#')    ans+=f; //第一行
         for(int i=; i<=w; i++) if(g[h][i]!='#')    ans+=f; //最后一行
         for(int i=; i<h; i++) if(g[i][]!='#')    ans+=f;
         for(int i=; i<h; i++) if(g[i][w]!='#')    ans+=f;
         build_graph(h, w, b, d, f);
         printf("%d\n",max_flow(, w*h+)+ans);
     }
     return ;
 }

AC代码