Valera and Swaps

题意：

定义 $f(p)$ 表示将 $p$ 序列变换为有序序列最少要交换多少次，给一 $1 \sim n$ 的排列 $a$ ，给一整数 $m$，

求问将 $a$ 最少交换多少次能得到 $p$ ，使得 $f(p) = m$，并将以此交换视作一个两个数字，将交换按顺序排列开

求出字典序最小的交换序列。

解法：

记 $id$ 表示排列 $id(i) = i$

考虑 $f(p)$ 怎么求，可以发现，将原排列视作一个从$p$置换到$id$的置换，则将置换拆分成 $tot$ 个循环后，

最小交换次数就是$\sum_{i=1}^{tot}{cnt_i - 1}$，也就是$n - tot$。

这样考虑交换两个置换的元素，两个置换群会合为一个置换群， $tot$ 变为 $tot-1$。

考虑交换一个置换群内的元素，当前置换群会拆分为两个置换群，$tot$ 变为 $tot+1$。

我们注意到要求交换次数最小，这样两种操作一定不会共存，

这样分类讨论：

1.$n-m < tot$时，我们需要将原先的置换群不断合并，要求字典序最小，

所以我们每次找出含最小元素的置换，将其与含1的置换合并。

2.$n-m = tot$时，不用交换，答案为0

3.$n-m > tot$时，每一次我们只要选择含最小元素的置换，将其中的最小值和次小值交换，并将置换拆开。

总复杂度$O(n^2)$

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <vector>

 #define N 3010
 #define LL long long

 using namespace std;

 int n,m,tot;
 int a[N];
 bool v[N];
 vector<int> cir[N];

 int main()
 {
     while(~scanf("%d",&n))
     {
         for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
         scanf("%d",&m);
         m=n-m;
         for(int i=;i<=n;i++) v[i]=;
         tot=;
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             if(v[i]) continue;
             int tmp=i;
             cir[++tot].clear();
             while(!v[tmp])
             {
                 v[tmp]=;
                 cir[tot].push_back(tmp);
                 tmp=a[tmp];
             }
         }
         if(tot==m) cout<<<<endl;
         else if(tot>m)
         {
             cout<<tot-m<<endl;
             for(int Te=;Te<=tot-m;Te++)
             {
                 int t=;
                 for(int i=;i<=tot;i++)
                     if(!cir[i].empty() && (!t || cir[i][]<cir[t][]))
                         t=i;
                 cout<<cir[][]<<' '<<cir[t][]<<' ';
                 for(int i=;i<(int)cir[t].size();i++)
                     cir[].push_back(cir[t][i]);
                 cir[t].clear();
             }
         }
         else
         {
             int tott=tot;
             cout<<m-tot<<endl;
             for(int Te=;Te<=m-tot;Te++)
             {
                 int t=;
                 for(int i=;i<=tott;i++)
                     if(cir[i].size()> && (!t || cir[i][]<cir[t][]))
                         t=i;
                 int pos=;
                 for(int i=;i<(int)cir[t].size();i++)
                     if(cir[t][i]<cir[t][pos])
                         pos=i;
                 cout<<cir[t][]<<' '<<cir[t][pos]<<' ';
                 swap(cir[t][],cir[t][pos]);
                 cir[++tott].clear();
                 int cnt=;
                 for(int i=pos;i<(int)cir[t].size();i++)
                     cir[tott].push_back(cir[t][i]),cnt++;
                 while(cnt--) cir[t].pop_back();
             }
         }
     }
     return ;
 }