C语言-多重背包问题

多重背包问题

问题：有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

分析：

这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有n[i]+1种策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值，则有状态转移方程：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}

复杂度是O(V*Σn[i])。

另一种方法：

另一种好想好写的基本方法是转化为01背包求解：把第i种物品换成n[i]件01背包中的物品，则得到了物品数为Σn[i]的01背包问题，直接求解，复杂度仍然是O(V*Σn[i])。

但是我们期望将它转化为01背包问题之后能够像完全背包一样降低复杂度。仍然考虑二进制的思想，我们考虑把第i种物品换成若干件物品，使得原问题中第i种物品可取的每种策略——取0..n[i]件——均能等价于取若干件代换以后的物品。另外，取超过n[i]件的策略必不能出现。

方法是：将第i种物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为 1,2,4,...,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如，如果n[i]为13，就将这种 物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品。

分成的这几件物品的系数和为n[i]，表明不可能取多于n[i]件的第i种物品。另外这种方法也能保证对于0..n[i]间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示，这个证明可以分0..2^k-1和2^k..n[i]两段来分别讨论得出，并不难，希望你自己思考尝试一下。

这样就将第i种物品分成了O(log n[i])种物品，将原问题转化为了复杂度为<math>O(V*Σlog n[i])的01背包问题，是很大的改进。

下面给出O(log amount)时间处理一件多重背包中物品的过程，其中amount表示物品的数量：

procedure MultiplePack(cost,weight,amount)

    if cost*amount>=V

        CompletePack(cost,weight)

        return

    integer k=1

    while k<amount

        ZeroOnePack(k*cost,k*weight)

        amount=amount-k

        k=k*2

    ZeroOnePack(amount*cost,amount*weight)

代码实现：

 /******************多重背包问题*********************/
 #include <iostream>
 #include <vector>
 #include <math.h>
 using namespace std;
 #define EMPTY
 #define INF -65536
 const int V=;//定义体积
 const int T=;//定义物品种类
 int f[V+];
 int c[T]={,,,,};
 int w[T]={,,,,};
 int n[T]={,,,,};
 vector <int> n_list;//存储分解后的每一个系数
 vector <int> c_list;//将分解后的每一个系数乘以每一个体积
 vector <int> w_list;//将分解后的每一个系数乘以每一个价值
 void initpackage()//将每个系数分解
 {
     int x=;
     for(int i=;i<T;i++)
     {
         int p=;
         cout<<n[i]<<":";
         while((n[i]-pow(,p)+)>=)
         {
             cout<<pow(,p-)<<" ";
             n_list.push_back(pow(,p-));
             c_list.push_back(c[i]*pow(,p-));
             w_list.push_back(w[i]*pow(,p-));
             p++;
         }
         x=n[i]-pow(,p-)+;
         if(x>)
         {
             cout<<x<<" ";
             n_list.push_back(x);
             c_list.push_back(c[i]*x);
             w_list.push_back(w[i]*x);
         }
         cout<<endl;
     }
 }
 int package()
 {
     initpackage();
     int size;
     size=n_list.size();
     #ifdef EMPTY
     for(int i=;i<=V;i++)
     {
         f[i]=;
     }
     #else
     f[]=;
     for(int i=;i<=V;i++)
     {
         f[i]=INF;
     }
     #endif // EMPTY
     for(int i=;i<size;i++)
     {
         for(int v=V;v>=c_list[i];v--)
         {
             f[v]=max(f[v],f[v-c_list[i]]+w_list[i]);
         }
     }
     return f[V];
 }
 int main()
 {
     int temp;
     cout<<"c[i]的结果为：";
     for(int i=;i<T;i++)
     {
         cout<<c[i]<<" ";
     }
     cout<<endl;
     cout<<"w[i]的结果为：";
     for(int i=;i<T;i++)
     {
         cout<<w[i]<<" ";
     }
     cout<<endl;
     cout<<"n[i]的结果为：";
     for(int i=;i<T;i++)
     {
         cout<<n[i]<<" ";
     }
     cout<<endl;
     temp=package();
     cout<<temp<<endl;
     return ;
 }