bzoj1911[Apio2010]特别行动队 斜率优化dp

1911: [Apio2010]特别行动队

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Sample Input

4
-1 10 -20
2 2 3 4

Sample Output

9

HINT

dp[i]=dp[j]+a*x*x+b*x+c
x=sum[i]-sum[j]

证明单调性
假设对于i点 k<j且j的决策比k优
dp[j]+a*(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j])+b*(sum[i]-sum[j])+c>=dp[k]+a*(sum[i]-sum[k])*(sum[i]-sum[k])+b*(sum[i]-sum[k])+c
化简得 dp[j]+a*sum[j]*sum[j]-2*a*sum[i]*sum[j]-b*sum[j]>=dp[k]+a*sum[k]*sum[k]-2*a*sum[i]*sum[k]-b*sum[k]

要证明单调性 需证明下面的式子
dp[j]+a*(sum[t]-sum[j])*(sum[t]-sum[j])+b*(sum[t]-sum[j])+c>=dp[k]+a*(sum[t]-sum[k])*(sum[t]-sum[k])+b*(sum[t]-sum[k])+c
化简得dp[j]+a*sum[j]*sum[j]-2*a*sum[t]*sum[j]-b*sum[j]>=dp[k]+a*sum[k]*sum[k]-2*a*sum[t]*sum[k]-b*sum[k]

设t>i 显然sum[t]>=sum[i] 设sum[t]=sum[i]+v
代入sum[t]得 dp[j]+a*sum[j]*sum[j]-2*a*sum[i]*sum[j]-b*sum[j]+v*sum[j]>=dp[k]+a*sum[k]*sum[k]-2*a*sum[i]*sum[k]-b*sum[k]+v*sum[k]
因为j>k 所以sum[j]>=k 上式成立，决策单调性得证
证毕

可以写出斜率式
dp[j]+a*sum[j]^2-2*a*sum[i]*sum[j]-b*sum[j]>=dp[k]+a*sum[k]^2-2*a*sum[i]*sum[k]-b*sum[k] 且j>k
=> dp[j]-dp[k]+a*sum[j]^2-a*sum[k]^2+b*sum[k]-b*sum[j]>=sum[i]*2*a*(sum[j]-sum[k])
=> (dp[j]-dp[k]+a*sum[j]^2-a*sum[k]^2+b*sum[k]-b*sum[j])/(2*a*(sum[j]-sum[k]))>=sum[i]

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<queue>
 #include<cmath>
 #include<vector>
 #include<cstdlib>
 #include<iostream>
 #define ll long long
 #define inf 2147483647
 #define N 1000005
 using namespace std;
 ll dp[N],sum[N];
 int a,b,c,q[N];
 ll pw(ll x){return x*x;}ll S(int j,int k){return *a*(sum[j]-sum[k]);}
 ll G(int j,int k){return dp[j]-dp[k]+a*pw(sum[j])-a*pw(sum[k])+b*sum[k]-b*sum[j];}
 double slope(int j,int k){return (double)G(j,k)/S(j,k);}

 int main(){
     int n;
     scanf("%d",&n);
     scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
     for(int i=;i<=n;i++){
         int x;
         scanf("%d",&x);
         sum[i]=sum[i-]+x;
     }
     int h=,t=;
     for(int i=;i<=n;i++){
         while(h+<t&&slope(q[h],q[h+])<=sum[i])h++;
         int j=q[h],x=sum[i]-sum[j];
         dp[i]=dp[j]+a*pw(x)+b*x+c;
         while(h+<t&&slope(i,q[t-])<=slope(q[t-],q[t-]))t--;
         q[t++]=i;
     }
     printf("%lld",dp[n]);
     return ;
 }