Codeforces 1103 C. Johnny Solving

题目大意：

有一张 $n$ 个点 $m$ 条边的简单无向图，每个点的度数至少为 $3$ ，你需要构造出两种情况之一

一条长度至少为 $\frac{n}{k}$ 的简单路径
$k$ 个大小大于 $3$ 且不为 $3$ 的倍数的简单环，且满足每个环中至少有一个点只属于这个环。

如果都构造不出来则输出 $-1$ 。

解题思路：

首先必定可以构造出来，$-1$ 就是用来迷惑你的。

从无向图生成树的角度考虑，如果生成树的最大深度至少为 $\frac{n}{k}$ ，那么直接输出简单路径，否则可以证明生成树一定有至少 $k+1$ 个叶子。

假设叶子数量小于 $k+1$ ，每一个叶子的深度最大为 $\frac{n}{k}-1$，由于所有叶子到根的路径的并是这棵树，所以所有叶子的深度之和要大于 $n$ ，矛盾。

事实上每一个叶子都可以构造出一个长度不为 $3$ 的倍数的简单环，由于每个点度数 $\geq 3 $ ，那么每个叶子至少存在两条反祖边，假设叶子 $u$ 对应的这两个祖先分别为 $x, y$ 。

如果其中一个祖先满足 $dep[x] \bmod 3 \neq 0$ ，那么 $u$ 到这祖先就能形成一个合法环。

否则两个祖先都满足 $\bmod 3 = 0$ 那么 $x-y$ 之间的路径再加上 $u$ 就能形成一个 $\bmod 3 = 1$ 的合法环。

考虑每一个环都包含一个叶子，这个叶子显然满足在所有环里只出现一次。

code

/*program by mangoyang*/

#include<bits/stdc++.h>

#define inf ((ll)(1e17))

#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))

#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))

typedef long long ll;

using namespace std;

template <class T>

inline void read(T &x){

    int ch = 0, f = 0; x = 0;

    for(; !isdigit(ch); ch = getchar()) if(ch == '-') f = 1;

    for(; isdigit(ch); ch = getchar()) x = x * 10 + ch - 48;

    if(f) x = -x;

}

const int N = 1000005;

pair<int, int> q[N];

vector<int> g[N], leaf;

int vis[N], dep[N], dd[N], ms[N], fa[N], n, m, k;

inline void dfs(int u){

	vis[u] = 1, dep[u] = 1; int tot = 0;

	for(int i = 0; i < (int) g[u].size(); i++){

		int v = g[u][i];-

		if(v == fa[u]) continue;

		if(!vis[v]){

			fa[v] = u, dd[v] = dd[u] + 1, dfs(v);

			if(dep[v] >= dep[u])

				dep[u] = dep[v] + 1, ms[u] = v;

			tot++;

		}

		else{

			if(!q[u].first) q[u].first = v;

			else if(!q[u].second) q[u].second = v;

		}

	}

	if(!tot) leaf.push_back(u);

}

inline void outpath(int u){

	printf("%d ", u);

	if(ms[u]) outpath(ms[u]);

}

inline void gao(int x, int y){

	if(dd[x] < dd[y]) swap(x, y);

	while(x != y) printf("%d ", x), x = fa[x];

	printf("%d ", y);

}

int main(){

	read(n), read(m), read(k);

	for(int i = 1, x, y; i <= m; i++){

		read(x), read(y);

		g[x].push_back(y), g[y].push_back(x);

	}

	dfs(1);

	if(dep[1] >= n / k){

		puts("PATH");

		cout << dep[1] << endl;

		return outpath(1), 0;

	}

	puts("CYCLES");

	for(int i = 0; i < k; i++){

		int u = leaf[i];

		int x = q[u].first, y = q[u].second;

		if((dd[u] - dd[x] + 1) % 3 != 0)

            printf("%d\n", dd[u] - dd[x] + 1), gao(u, x), puts("");

		else if((dd[u] - dd[y] + 1) % 3 != 0)

            printf("%d\n", dd[u] - dd[y] + 1), gao(u, y), puts("");

		else printf("%d\n", abs(dd[x] - dd[y]) + 2), gao(x, y), printf("%d\n", u);

	}

}