POJ 1222 POJ 1830 POJ 1681 POJ 1753 POJ 3185 高斯消元求解一类开关问题
http://poj.org/problem?id=1222
http://poj.org/problem?id=1830
http://poj.org/problem?id=1681
http://poj.org/problem?id=1753
http://poj.org/problem?id=3185
这几个题目都类似，都可以使用高斯消元来求解一个模2的01方程组来解决。
有时候需要枚举自由变元，有的是判断存不存在解
普通的问题。
肯定有唯一解。肯定枚举第一行去做，也可以使用高斯消元。
/* ***********************************************
Author :kuangbin
Created Time :2013/8/17 18:25:42
File Name :F:\2013ACM练习\专题学习\高斯消元\POJ1222.cpp
************************************************ */ #include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
using namespace std; //对2取模的01方程组
const int MAXN = ;
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,列数为var+1,分别为0到var
int equ,var;
int a[MAXN][MAXN]; //增广矩阵
int x[MAXN]; //解集
int free_x[MAXN];//用来存储自由变元（多解枚举自由变元可以使用）
int free_num;//自由变元的个数 //返回值为-1表示无解，为0是唯一解，否则返回自由变元个数
int Gauss()
{
int max_r,col,k;
free_num = ;
for(k = , col = ; k < equ && col < var ; k++, col++)
{
max_r = k;
for(int i = k+;i < equ;i++)
{
if(abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col]))
max_r = i;
}
if(a[max_r][col] == )
{
k--;
free_x[free_num++] = col;//这个是自由变元
continue;
}
if(max_r != k)
{
for(int j = col; j < var+; j++)
swap(a[k][j],a[max_r][j]);
}
for(int i = k+;i < equ;i++)
{
if(a[i][col] != )
{
for(int j = col;j < var+;j++)
a[i][j] ^= a[k][j];
}
}
}
for(int i = k;i < equ;i++)
if(a[i][col] != )
return -;//无解
if(k < var) return var-k;//自由变元个数
//唯一解，回代
for(int i = var-; i >= ;i--)
{
x[i] = a[i][var];
for(int j = i+;j < var;j++)
x[i] ^= (a[i][j] && x[j]);
}
return ;
}
void init()
{
memset(a,,sizeof(a));
memset(x,,sizeof(x));
equ = ;
var = ;
for(int i = ;i < ;i++)
for(int j = ;j < ;j++)
{
int t = i*+j;
a[t][t] = ;
if(i > )a[(i-)*+j][t] = ;
if(i < )a[(i+)*+j][t] = ;
if(j > )a[i*+j-][t] = ;
if(j < )a[i*+j+][t] = ;
}
}
int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
//freopen("out.txt","w",stdout);
int T;
int iCase = ;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
iCase++;
init();
for(int i = ;i < ;i++)
scanf("%d",&a[i][]);
Gauss();
printf("PUZZLE #%d\n",iCase);
for(int i = ;i < ;i++)
{
for(int j = ;j < ;j++)
printf("%d ",x[i*+j]);
printf("%d\n",x[i*+]);
}
}
return ;
}
输出方案数，就是求出有多少个自由变元就可以了。
/* ***********************************************
Author :kuangbin
Created Time :2013/8/17 19:44:33
File Name :F:\2013ACM练习\专题学习\高斯消元\POJ1830.cpp
************************************************ */ #include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
using namespace std;
//对2取模的01方程组
const int MAXN = ;
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,列数为var+1,分别为0到var
int equ,var;
int a[MAXN][MAXN]; //增广矩阵
int x[MAXN]; //解集
int free_x[MAXN];//用来存储自由变元（多解枚举自由变元可以使用）
int free_num;//自由变元的个数 //返回值为-1表示无解，为0是唯一解，否则返回自由变元个数
int Gauss()
{
int max_r,col,k;
free_num = ;
for(k = , col = ; k < equ && col < var ; k++, col++)
{
max_r = k;
for(int i = k+;i < equ;i++)
{
if(abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col]))
max_r = i;
}
if(a[max_r][col] == )
{
k--;
free_x[free_num++] = col;//这个是自由变元
continue;
}
if(max_r != k)
{
for(int j = col; j < var+; j++)
swap(a[k][j],a[max_r][j]);
}
for(int i = k+;i < equ;i++)
{
if(a[i][col] != )
{
for(int j = col;j < var+;j++)
a[i][j] ^= a[k][j];
}
}
}
for(int i = k;i < equ;i++)
if(a[i][col] != )
return -;//无解
if(k < var) return var-k;//自由变元个数
//唯一解，回代
for(int i = var-; i >= ;i--)
{
x[i] = a[i][var];
for(int j = i+;j < var;j++)
x[i] ^= (a[i][j] && x[j]);
}
return ;
}
void init()
{
memset(a,,sizeof(a));
memset(x,,sizeof(x));
}
int start[MAXN],end[MAXN]; int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
//freopen("out.txt","w",stdout);
int n;
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d",&n);
for(int i = ;i < n;i++)
scanf("%d",&start[i]);
for(int i = ;i < n;i++)
scanf("%d",&end[i]);
init();
equ = var = n;
for(int i = ;i < n;i++)
a[i][i] = ;
int u,v;
while(scanf("%d%d",&u,&v) == )
{
if(u == && v == )break;
a[v-][u-] = ;
}
for(int i = ;i < n;i++)
a[i][n] = (start[i]^end[i]);
int ans = Gauss();
if(ans == -)
printf("Oh,it's impossible~!!\n");
else printf("%d\n",(<<ans));
}
return ;
}
需要步数最少的，要枚举自由变元求解。
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Author :kuangbin
Created Time :2013/8/17 19:56:07
File Name :F:\2013ACM练习\专题学习\高斯消元\POJ1681.cpp
************************************************ */ #include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
using namespace std;
//对2取模的01方程组
const int MAXN = ;
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,列数为var+1,分别为0到var
int equ,var;
int a[MAXN][MAXN]; //增广矩阵
int x[MAXN]; //解集
int free_x[MAXN];//用来存储自由变元（多解枚举自由变元可以使用）
int free_num;//自由变元的个数 //返回值为-1表示无解，为0是唯一解，否则返回自由变元个数
int Gauss()
{
int max_r,col,k;
free_num = ;
for(k = , col = ; k < equ && col < var ; k++, col++)
{
max_r = k;
for(int i = k+;i < equ;i++)
{
if(abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col]))
max_r = i;
}
if(a[max_r][col] == )
{
k--;
free_x[free_num++] = col;//这个是自由变元
continue;
}
if(max_r != k)
{
for(int j = col; j < var+; j++)
swap(a[k][j],a[max_r][j]);
}
for(int i = k+;i < equ;i++)
{
if(a[i][col] != )
{
for(int j = col;j < var+;j++)
a[i][j] ^= a[k][j];
}
}
}
for(int i = k;i < equ;i++)
if(a[i][col] != )
return -;//无解
if(k < var) return var-k;//自由变元个数
//唯一解，回代
for(int i = var-; i >= ;i--)
{
x[i] = a[i][var];
for(int j = i+;j < var;j++)
x[i] ^= (a[i][j] && x[j]);
}
return ;
}
int n;
void init()
{
memset(a,,sizeof(a));
memset(x,,sizeof(x));
equ = n*n;
var = n*n;
for(int i = ;i < n;i++)
for(int j = ;j < n;j++)
{
int t = i*n+j;
a[t][t] = ;
if(i > )a[(i-)*n+j][t] = ;
if(i < n-)a[(i+)*n+j][t] = ;
if(j > )a[i*n+j-][t] = ;
if(j < n-)a[i*n+j+][t] = ;
}
}
void solve()
{
int t = Gauss();
if(t == -)
{
printf("inf\n");
return;
}
else if(t == )
{
int ans = ;
for(int i = ;i < n*n;i++)
ans += x[i];
printf("%d\n",ans);
return;
}
else
{
//枚举自由变元
int ans = 0x3f3f3f3f;
int tot = (<<t);
for(int i = ;i < tot;i++)
{
int cnt = ;
for(int j = ;j < t;j++)
{
if(i&(<<j))
{
x[free_x[j]] = ;
cnt++;
}
else x[free_x[j]] = ;
}
for(int j = var-t-;j >= ;j--)
{
int idx;
for(idx = j;idx < var;idx++)
if(a[j][idx])
break;
x[idx] = a[j][var];
for(int l = idx+;l < var;l++)
if(a[j][l])
x[idx] ^= x[l];
cnt += x[idx];
}
ans = min(ans,cnt);
}
printf("%d\n",ans);
}
}
char str[][];
int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
//freopen("out.txt","w",stdout);
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d",&n);
init();
for(int i = ;i < n;i++)
{
scanf("%s",str[i]);
for(int j = ;j < n;j++)
{
if(str[i][j] == 'y')
a[i*n+j][n*n] = ;
else a[i*n+j][n*n] = ;
}
}
solve();
}
return ;
}
数据范围很小，随便搞，也是要枚举自由变元。。。。这题用高斯消元真是杀鸡用牛刀了
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Author :kuangbin
Created Time :2013/8/17 20:53:13
File Name :F:\2013ACM练习\专题学习\高斯消元\POJ1753.cpp
************************************************ */ #include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
using namespace std;
//对2取模的01方程组
const int MAXN = ;
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,列数为var+1,分别为0到var
int equ,var;
int a[MAXN][MAXN]; //增广矩阵
int x[MAXN]; //解集
int free_x[MAXN];//用来存储自由变元（多解枚举自由变元可以使用）
int free_num;//自由变元的个数 //返回值为-1表示无解，为0是唯一解，否则返回自由变元个数
int Gauss()
{
int max_r,col,k;
free_num = ;
for(k = , col = ; k < equ && col < var ; k++, col++)
{
max_r = k;
for(int i = k+;i < equ;i++)
{
if(abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col]))
max_r = i;
}
if(a[max_r][col] == )
{
k--;
free_x[free_num++] = col;//这个是自由变元
continue;
}
if(max_r != k)
{
for(int j = col; j < var+; j++)
swap(a[k][j],a[max_r][j]);
}
for(int i = k+;i < equ;i++)
{
if(a[i][col] != )
{
for(int j = col;j < var+;j++)
a[i][j] ^= a[k][j];
}
}
}
for(int i = k;i < equ;i++)
if(a[i][col] != )
return -;//无解
if(k < var) return var-k;//自由变元个数
//唯一解，回代
for(int i = var-; i >= ;i--)
{
x[i] = a[i][var];
for(int j = i+;j < var;j++)
x[i] ^= (a[i][j] && x[j]);
}
return ;
}
int n;
void init()
{
memset(a,,sizeof(a));
memset(x,,sizeof(x));
equ = n*n;
var = n*n;
for(int i = ;i < n;i++)
for(int j = ;j < n;j++)
{
int t = i*n+j;
a[t][t] = ;
if(i > )a[(i-)*n+j][t] = ;
if(i < n-)a[(i+)*n+j][t] = ;
if(j > )a[i*n+j-][t] = ;
if(j < n-)a[i*n+j+][t] = ;
}
}
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int solve()
{
int t = Gauss();
if(t == -)
{
return INF;
}
else if(t == )
{
int ans = ;
for(int i = ;i < n*n;i++)
ans += x[i];
return ans;
}
else
{
//枚举自由变元
int ans = INF;
int tot = (<<t);
for(int i = ;i < tot;i++)
{
int cnt = ;
for(int j = ;j < t;j++)
{
if(i&(<<j))
{
x[free_x[j]] = ;
cnt++;
}
else x[free_x[j]] = ;
}
for(int j = var-t-;j >= ;j--)
{
int idx;
for(idx = j;idx < var;idx++)
if(a[j][idx])
break;
x[idx] = a[j][var];
for(int l = idx+;l < var;l++)
if(a[j][l])
x[idx] ^= x[l];
cnt += x[idx];
}
ans = min(ans,cnt);
}
return ans;
}
}
char str[][];
int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
//freopen("out.txt","w",stdout);
n = ;
for(int i = ;i < ;i++)
scanf("%s",str[i]);
init();
for(int i = ;i < ;i++)
for(int j = ;j < ;j++)
{
if(str[i][j] == 'b')a[i*+j][] = ;
else a[i*+j][] = ;
}
int ans1 = solve();
init();
for(int i = ;i < ;i++)
for(int j = ;j < ;j++)
{
if(str[i][j] == 'b')a[i*+j][] = ;
else a[i*+j][] = ;
}
int ans2 = solve();
if(ans1 == INF && ans2 == INF)
printf("Impossible\n");
else printf("%d\n",min(ans1,ans2));
return ;
}
一维的了，更简单的还是枚举比较好。
高斯消元随便搞
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Author :kuangbin
Created Time :2013/8/17 21:53:09
File Name :F:\2013ACM练习\专题学习\高斯消元\POJ3185.cpp
************************************************ */ #include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
using namespace std;
//对2取模的01方程组
const int MAXN = ;
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,列数为var+1,分别为0到var
int equ,var;
int a[MAXN][MAXN]; //增广矩阵
int x[MAXN]; //解集
int free_x[MAXN];//用来存储自由变元（多解枚举自由变元可以使用）
int free_num;//自由变元的个数 //返回值为-1表示无解，为0是唯一解，否则返回自由变元个数
int Gauss()
{
int max_r,col,k;
free_num = ;
for(k = , col = ; k < equ && col < var ; k++, col++)
{
max_r = k;
for(int i = k+;i < equ;i++)
{
if(abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col]))
max_r = i;
}
if(a[max_r][col] == )
{
k--;
free_x[free_num++] = col;//这个是自由变元
continue;
}
if(max_r != k)
{
for(int j = col; j < var+; j++)
swap(a[k][j],a[max_r][j]);
}
for(int i = k+;i < equ;i++)
{
if(a[i][col] != )
{
for(int j = col;j < var+;j++)
a[i][j] ^= a[k][j];
}
}
}
for(int i = k;i < equ;i++)
if(a[i][col] != )
return -;//无解
if(k < var) return var-k;//自由变元个数
//唯一解，回代
for(int i = var-; i >= ;i--)
{
x[i] = a[i][var];
for(int j = i+;j < var;j++)
x[i] ^= (a[i][j] && x[j]);
}
return ;
}
void init()
{
memset(a,,sizeof(a));
memset(x,,sizeof(x));
equ = ;
var = ;
for(int i = ;i < ;i++)
{
a[i][i] = ;
if(i > ) a[i-][i] = ;
if(i < )a[i+][i] = ;
}
}
void solve()
{
int t = Gauss();
if(t == -)
{
printf("inf\n");
return;
}
else if(t == )
{
int ans = ;
for(int i = ;i < ;i++)
ans += x[i];
printf("%d\n",ans);
return;
}
else
{
//枚举自由变元
int ans = 0x3f3f3f3f;
int tot = (<<t);
for(int i = ;i < tot;i++)
{
int cnt = ;
for(int j = ;j < t;j++)
{
if(i&(<<j))
{
x[free_x[j]] = ;
cnt++;
}
else x[free_x[j]] = ;
}
for(int j = var-t-;j >= ;j--)
{
int idx;
for(idx = j;idx < var;idx++)
if(a[j][idx])
break;
x[idx] = a[j][var];
for(int l = idx+;l < var;l++)
if(a[j][l])
x[idx] ^= x[l];
cnt += x[idx];
}
ans = min(ans,cnt);
}
printf("%d\n",ans);
}
} int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
//freopen("out.txt","w",stdout);
init();
for(int i = ;i < ;i++)
scanf("%d",&a[i][]);
solve();
return ;
}
专题：
高斯消元解方程：
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/contest/view.action?cid=29538#overview
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