LOJ3102. 「JSOI2019」神经网络 [DP，容斥，生成函数]

传送门

思路

大部分是感性理解，不保证完全正确。

不能算是神仙题，但我还是不会qwq

这题显然就是求：把每一棵树分成若干条链，然后把链拼成一个环，使得相邻的链不来自同一棵树，的方案数。（我才不告诉你们我这一行都没推出来呢）

可以发现后面那步只和每棵树被分成了几段有关，所以第一步可以先求出每棵树分成几段的方案数。

具体方法：设\(dp_{x,i,0/1/2}\)表示\(x\)子树被填满，共用\(i\)条链，\(x\)所在的链处于 {只有\(x\)一个点/有一条从下面到\(x\)的链/有从下到\(x\)又到下的链} 的状态，然后随便DP。（我的代码中1、2两种情况不算在\(i\)里面，只有确定不再改变时才加进去）

（注意一条链有两个方向，所以链长大于1时方案数乘2）

一通DP之后可以得到\(f\)数组：\(f_i\)表示将树分成\(i\)条链的方案数。

先考虑把链不是拼成一个环，而是一个排列，使得相邻链颜色不同的方案数。这似乎是个经典问题。

首先，排列的个数要用指数型生成函数来完成，但颜色不同的限制呢？

考虑容斥：设一共有\(k\)条链，也就是有\(k-1\)个空隙必须被填满。容斥有多少个空隙可能会被填满，那么这一项的值就是

\[f_kk!\sum_{j=1}^k (-1)^{k-j} {k-1\choose j-1}\frac{x^j}{j!}
\]

所以整一棵树的生成函数就是

\[\sum_{k=1}^n f_kk!\sum_{j=1}^k (-1)^{k-j} {k-1\choose j-1}\frac{x^j}{j!}
\]

组成排列的做完了，但组成一个环又该怎么办？

考虑断环为链。我们钦定第一棵树的第一条链必须放在第一个，于是第一棵树的生成函数变为

\[\sum_{k=1}^n f_k(k-1)!\sum_{j=1}^k (-1)^{k-j} {k-1\choose j-1}\frac{x^{j-1}}{(j-1)!}
\]

（\((k-1)!\)表示钦定第一个位置不变，那么剩下的有\((k-1)!\)种排列；\(j-1\)表示有\(k\)条链时其实只会有\(k-1\)条链参与到后面的排列中去）

然而还有第一个和最后一个不能颜色相同的限制，所以第一棵树的生成函数还要减去

\[\sum_{k=1}^n f_k(k-1)!\sum_{j=2}^k (-1)^{k-j} {k-1\choose j-1}\frac{x^{j-2}}{(j-2)!}
\]

（\(j-2\)表示钦定\(k-1\)条链的排列中的最后一个必须放在序列末尾，所以只有\(k-2\)条链参与到后面的排列）

最后暴力把所有生成函数卷在一起即可。

代码

代码很丑，请谨慎阅读qwq

#include<bits/stdc++.h>
clock_t t=clock();
namespace my_std{
	using namespace std;
	#define pii pair<int,int>
	#define fir first
	#define sec second
	#define MP make_pair
	#define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
	#define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
	#define go(x) for (int _=head[x];_;_=edge[_].nxt)
	#define templ template<typename T>
	#define sz 5050
	#define mod 998244353ll
	typedef long long ll;
	typedef double db;
	mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
	templ inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}
	templ inline bool chkmax(T &x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
	templ inline bool chkmin(T &x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
	templ inline void read(T& t)
	{
		t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;
		while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
		while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
		if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
		t=(f?-t:t);
	}
	template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
	char __sr[1<<21],__z[20];int __C=-1,__zz=0;
	inline void Ot(){fwrite(__sr,1,__C+1,stdout),__C=-1;}
	inline void print(register int x)
	{
		if(__C>1<<20)Ot();if(x<0)__sr[++__C]='-',x=-x;
		while(__z[++__zz]=x%10+48,x/=10);
		while(__sr[++__C]=__z[__zz],--__zz);__sr[++__C]='\n';
	}
	void file()
	{
		#ifdef NTFOrz
		freopen("a.in","r",stdin);
		#endif
	}
	inline void chktime()
	{
		#ifndef ONLINE_JUDGE
		cout<<(clock()-t)/1000.0<<'\n';
		#endif
	}
	#ifdef mod
	ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}
	ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}
	#else
	ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;}
	#endif
//	inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;
inline void M(ll &x){x-=((mod-x)>>31&mod);}

int n;
struct hh{int t,nxt;}edge[sz<<1];
int head[sz],ecnt;
void make_edge(int f,int t)
{
	edge[++ecnt]=(hh){t,head[f]};
	head[f]=ecnt;
	edge[++ecnt]=(hh){f,head[t]};
	head[t]=ecnt;
}

ll dp[sz][sz][3],f[sz][3];
int size[sz];
void dfs(int x,int fa)
{
	dp[x][0][0]=size[x]=1;
	#define v edge[_].t
	go(x) if (v!=fa)
	{
		dfs(v,x);
		#define upd(a,b,p,q,r) M(f[i+j+q][p]+=dp[x][i][a]*dp[v][j][b]%mod*r%mod)
		rep(i,0,size[x])
			rep(j,0,size[v])
				upd(0,0,1,0,1),upd(0,0,0,1,1),
				upd(0,1,0,1,2),upd(0,1,1,0,1),
				upd(0,2,0,0,1),
				upd(1,0,1,1,1),upd(1,0,2,1,2),
				upd(1,1,1,1,2),upd(1,1,2,1,2),
				upd(1,2,1,0,1),
				upd(2,0,2,1,1),
				upd(2,1,2,1,2),
				upd(2,2,2,0,1);
		size[x]+=size[v];
		rep(i,0,size[x]) rep(j,0,2) dp[x][i][j]=f[i][j],f[i][j]=0;
	}
	#undef v
}
ll cnt[sz];

ll fac[sz],_fac[sz];
void init(){_fac[0]=fac[0]=1;rep(i,1,sz-1) _fac[i]=inv(fac[i]=fac[i-1]*i%mod);}
ll C(int n,int m){return n>=m&&m>=0?fac[n]*_fac[m]%mod*_fac[n-m]%mod:0;} 

ll F[sz],lenF,G[sz],lenG,tmp[sz];
void mul()
{
	rep(i,0,lenF)
		rep(j,0,lenG)
			M(tmp[i+j]+=F[i]*G[j]%mod);
	lenF+=lenG;
	rep(i,0,lenF) F[i]=tmp[i],tmp[i]=G[i]=0;
}

int main()
{
	file();
	init();
	F[0]=1;
	int m;read(m);
	rep(_,1,m)
	{
		read(n);
		ecnt=0;rep(i,1,n) head[i]=0;
		int x,y;
		rep(i,1,n-1) read(x,y),make_edge(x,y);
		rep(i,1,n) rep(j,0,n) rep(k,0,2) dp[i][j][k]=0;
		dfs(1,0);
		rep(i,0,n) cnt[i]=0;
		rep(i,0,n) M(cnt[i+1]+=dp[1][i][0]),M(cnt[i+1]+=dp[1][i][1]*2%mod),M(cnt[i]+=dp[1][i][2]);
		lenG=n;
		rep(k,1,n) rep(j,_==1,k)
		{
			ll val=cnt[k]*fac[k-(_==1)]%mod*(((k-j)&1)?mod-1:1ll)%mod*C(k-1,j-1)%mod;
			if (_==1) M(G[j-1]+=val*_fac[j-1]%mod),j>1&&(M(G[j-2]+=mod-val*_fac[j-2]%mod),0);
			else M(G[j]+=val*_fac[j]%mod);
		}
		mul();
	}
	ll ans=0;
	rep(i,0,lenF) M(ans+=F[i]*fac[i]%mod);
	cout<<ans;
	return 0;
}