xgzc— math 专题训练（二）

费马小定理&欧拉定理

费马小定理：

如果\(p\)是一个质数，而整数\(a\)不是\(p\)的倍数，\(a^{p-1}\equiv1\pmod p\)

欧拉定理：

当\(a\)与\(n\)互质时，\(a^b \equiv a^{b\%\phi(n)} \pmod n\)

扩展欧拉定理：

\[a^b \equiv
\begin{cases}
a^b\pmod n (b<\phi(n))\\
a^{b\%\phi(n)+\phi(n)\pmod n (b\ge\phi(n))}\\
\end{cases}
\]

BSGS

求方程\(a^x\equiv b\pmod p\)(\(a\)与\(p\)互质)的解

取\(m=\lceil \sqrt p\rceil\)，设\(x = m*i-j\)

那么易知，\((a^m)^i\equiv b*a^j\pmod p\)

我们可以把右边的全部丢到\(map\)里，然后枚举左边的，看看\(map\)中有没有

map<int, int> M;
int BSGS(int a, int b, int p) {
	if (b == 1 && a) return 0;
	M.clear(); int m = ceil(sqrt(p));
	LL t = 1;
	for (int i = 0; i < m; i++, t = t * a % p) M[t * b % p] = i;
	for (int i = 1, s = t; i <= m + 1; i++, s = t * s % p) {
		map<int, int> :: iterator it = M.find(s);
		if (it == M.end()) continue;
		return m * i - (it->second);
	}
	return -1;
}
int main() {
	int a, b, p;
	while (scanf("%d%d%d", &p, &a, &b) != EOF) {
		int ans = BSGS(a, b, p);
		if (ans == -1) puts("no solution");
		else printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}

EXBSGS

当\(a\)与\(p\)不互质时，就不能除过去。

考虑，\(a^x=p*z+b\)

我们取\(d = gcd(a,p)\)

如果\(b\)不是\(d\)的倍数显然无解

然后整体除\(d\)得到\(\frac{a}{d}a^{x-1}=\frac{p}{d}*z+\frac{b}{d}\)

显然可以递归处理。。

记录一下系数

然后最后回带一下即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int Mod = 1e5 + 7;
int gcd(int x, int y) {
	return !y ? x : gcd(y, x % y);
}
struct Hash {
	struct node {
		int a, b, nxt;
	} A[1000010];
	int lst[Mod], tot;
	void clear() { memset(lst, 0, sizeof(lst)); tot = 0; }
	void add(int a, int b, int S) {
		A[++tot] = (node) {a, b, lst[S]};
		lst[S] = tot;
	}
	void insert(int a, int b) { add(a, b, a % Mod); }
	int find(int x) {
		for (int i = lst[x % Mod]; i; i = A[i].nxt)
			if (A[i].a == x) return A[i].b;
		return -1;
	}
} M;
int exBSGS(int a, int b, int p) {
	if (b == 1 && a) return 0;
	int d, k = 0, s = 1;
	while ((d = gcd(a, p)) > 1) {
		if (b % d) { return -1; }
		b /= d; p /= d; k++; s = 1ll * s * a / d % p;
		if (s == b) { return k; }
	}
	M.clear(); int m = ceil(sqrt(p));
	LL t = 1;
	for (int i = 0; i < m; i++, t = t * a % p) M.insert(t * b % p, i);
	s = t * s % p;
	for (int i = 1; i <= m + 1; i++, s = t * s % p) {
		int it = M.find(s); if (it == -1) continue;
        return m * i - it + k;
	}
	return -1;
}
int main() {
	int a, b, p;
	while (scanf("%d%d%d", &a, &p, &b) != EOF) {
		if (!a && !b && !p) return 0;
		int ans = exBSGS(a, b, p);
		if (ans == -1) puts("No Solution");
		else printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}

exLucas

二次剩余(Cipolla)