luogu P5023 填数游戏

luogu

loj

被这道题送退役了

题是挺有趣的,然而可能讨论比较麻烦,肝了2h 又自闭了,鉴于CSP在即,就只能先写个打表题解了

下面令\(n<m\),首先\(n=1\)时答案为\(2^m\),然后打表可以发现,\(\forall i>n+1\ ans_{n,i}=3^{m-(n+1)}ans_{n,n+1}\),现在考虑怎么快速打表

下面记从上往下行编号从\(1\)到\(n\),从左往右列编号从\(1\)到\(m\).要发掘两个性质,第一个是对于一条左下到右上的对角线,填的数一定是先一段1再加上一段0.否则他就会存在一个为0的位置\((i,j)\),满足右上方格子\((i-1,j+1)\)是1,这个时候会有两条从\((1,1)\)到\((i-1,j)\)的重合路径,下一步一条往下走,一条往右走,然后就导致往下走的路径字典序小于往右走的字典序,导致不合法.还有一个性质是如果位置\((i,j)\)满足\((i-1,j)\)格子值等于\((i,j-1)\),那么\(\forall x,y\ x-1\ge i,y\ge j\),要满足\((x,y)\)的值等于\((x-1,y+1)\),否则加上第一条性质,它就会满足\(a_{x,y}=1,a_{x-1,y+1}=0\),那可以有两条路径,分别为\((1,1)\to (i-1,j-1)\to (i,j-1)\to (i,j)\to (x-1,y)\to (x-1,y+1)\),以及\((1,1)\to (i-1,j-1)\to (i-1,j)\to (i,j)\to (x-1,y)\to (x,y)\),前者的字典序是应该大于等于后者的,但是这里显然不成立.可以发现满足这两个性质的方案都是满足要求的

根据这两条性质,我们就可以依次枚举每条左下到右上的对角线,填了多少个1和0.接着考虑第二个性质,我们填数的时候就维护所有\((i,j)\)满足\((i-1,j)\)格子值等于\((i,j-1)\)的位置,然后因为一条对角线只会有一个位置\(a_{x,y}=1,a_{x-1,y+1}=0\),所以使得\((x-1,y)\)左上方矩形内没有上述的\((i,j)\)就行了,这里可以维护一个前缀最小值表示满足\(j \le y\)的位置中上述\((i,j)\)的\(i\)最小值.这样可以在\(200ms\)左右打出\(ans_{8,9}\)

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define uLL unsigned long long
#define db double

using namespace std;
const int N=1e6+10,mod=1e9+7;
int rd()
{
	int x=0,w=1;char ch=0;
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
	return x*w;
}
void ad(int &x,int y){x+=y,x-=x>=mod?mod:0;}
int fpow(int a,int b){int an=1;while(b){if(b&1) an=1ll*an*a%mod;a=1ll*a*a%mod,b>>=1;} return an;}
int n,nn,m,ans,b[10];
bool a[10][10];
void dfs(int x,int y)
{
	if(y==n){++ans;return;}
	int bb[10];
	memcpy(bb,b,sizeof(b));
	for(int i=x,j=y;i>=1&&j<=n;--i,++j)
	{
		a[i][j]=0;
		if(i<x&&j>y&&i>1&&j<n&&a[i-1][j]==a[i][j-1]) b[j]=min(b[j],i);
	}
	for(int j=1;j<=n;++j) b[j]=min(b[j],b[j-1]);
	x==nn?dfs(x,y+1):dfs(x+1,y);
	for(int i=x,j=y;i>=1&&j<=n;--i,++j)
	{
		a[i][j]=1;
		if(i==1||j==n||b[j]>=i)
			x==nn?dfs(x,y+1):dfs(x+1,y);
	}
	memcpy(b,bb,sizeof(bb));
}

int main()
{
	n=rd(),m=rd();
	if(n>m) swap(n,m);
	if(n==1){printf("%d\n",fpow(2,m));return 0;}
	for(int i=0;i<=n;++i) b[i]=m+1;
	nn=min(m,n+1);
	dfs(2,1);
	printf("%d\n",(int)(4ll*ans*fpow(3,m-nn)%mod));
	return 0;
}