$m$ 整除 $10^k$ 的一个充分条件

若

(1) 既约分数 $\cfrac{n}{m}$ 满足 $0<\cfrac{n}{m}<1$;

(2) 分数 $\cfrac{n}{m}$ 可以化为小数部分的一个循环节有 $k$ 位数字的纯循环小数, 则 $m$ 除 $10^k$ 的余数为 $1$.

证明: 由 (2), $$\beex \bea \cfrac{n}{m}&=0.a_1\cdots a_ka_1\cdots a_k\cdots\\ &=\cfrac{a_1}{10}+\cdots+\cfrac{a_k}{10^k} +\cfrac{a_1}{10^{k+1}}+\cdots+\cfrac{a_k}{10^{2k}}+\cdots\\ &=\sex{\cfrac{a_1}{10}+\cdots+\cfrac{a_k}{10^k}}\cdot\sex{1+\cfrac{1}{10}+\cdots}\\ &=\sex{\cfrac{a_1}{10}+\cdots+\cfrac{a_k}{10^k}}\cdot \cfrac{1}{1-\cfrac{1}{10^k}}\\ &=\sex{\cfrac{a_1}{10}+\cdots+\cfrac{a_k}{10^k}}\cdot\cfrac{10^k}{10^k-1}\\ &=\cfrac{a_1\cdot 10^{k-1}+\cdots+a_k}{10^k-1}. \eea \eeex$$ 如此, $$\bex n(10^k-1)=m(a_1\cdot 10^{k-1}+\cdots+a_k)\ra m\mid n(10^k-1). \eex$$ 再由 (1), $m,n$ 的最大公约数 $(m,n)=1$, 而 $$\bex m\mid 10^k-1\ra 10^k-1=qm\ra 10^k=qm+1. \eex$$