字节跳动冬令营网络赛 D.The Easiest One(贪心 数位DP)

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\(x:\ 11010011\)

\(y:\ 10011110\)

（下标是从高位往低位，依次是\(1,2,...,n\)）

比如对于这两个数，先找到最高的满足\(x\)是\(0\)，\(y\)是\(1\)的一位\(j\)，显然我们还要找比\(i\)高的最近的一位\(i\)，满足第\(i\)位\(x\)为\(1\)，\(y\)为\(0\)。

然后我们要将\(x\)中\(i\)之后的位上的\(1\)全变成\(0\)，然后\(x\)-=\(1\)，才能使得\(x\)在\(j\)这一位为\(1\)。这样\(x\)的第\(i\)位变为\(0\)，之后全变为\(1\)，显然此时还需要的代价就是 \(n-i-\ y的后i位中1的个数\)。

而之前的代价就是 \(x后i位中1的个数\)。再算上\(i\)及前\(i\)位的代价，记\(cnt(x)\)为\(x\)的二进制表示中\(1\)的个数，\(x\)变成\(y\)的总代价其实就是 \(cnt(x)-cnt(y)+n-i\)。

这样就可以数位DP了。

\(f[i][las][0/1][0/1][0/1]\)表示 当前考虑到第\(i\)位，最近的满足\(x\)是\(1\)，\(y\)是\(0\)的位是\(las\)，是否处于上界，是否\(x\)已经大于\(y\)（要保证\(x\geq y\)），是否已统计过答案（只在最高的那位\(j\)统计答案），此时的总答案。

同样还需要记\(g[i][las][0/1][0/1][0/1]\)表示方案数，用来统计答案。

转移时枚举\(x,y\)当前位填什么就行了。

状态数\(O(n^2)\)。代码在这儿，博文最下面也有。

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也有\(O(n)\)的解法（我用记搜写了下，代码在这儿，博文最下面也有）：

orz \(tangjz\)的题解后，发现\(las\)这一维很容易就省去了...

原本记\(las\)是为了计算\(n-i\)这部分贡献，放到代码中就是\(ans\)+=\(g*(n-i)\)（\(g\)是方案数）。

现在我们只记是否出现过\(i,j\)（状态是三进制，分别表示未出现\(i,j\)、出现过\(i\)还没出现\(j\)、\(i,j\)都出现了），如果出现过\(i\)，转移的时候就\(ans\)+=\(g\)。

这样对于\(i\)，\(g\)的贡献还是会算\(n-i\)次。

这样复杂度就是\(O(n)\)了。

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解释一下\(tangjz\)的代码。。

写的从低位往高位的递推，每次枚举当前要计算的位\(i\)，然后枚举\(j,k\)（\(j\)是上界，\(k\)是那个三进制），据此枚举（要满足这个状态）第\(i\)位\(x,y\)填\(0\)还是\(1\)。

因为是从低位往高位（要注意转移对状态），所以\(k=2\)是说还没有找到\(v\)；\(k=1\)是指找到了\(v\)但没有确定\(u\)；\(k=0\)是指\(u,v\)都已经确定了。

那么看转移，\(j\)这维和记搜写法是一样的...（其实哪一维和记搜都差不多）。

下面忽略\(j\)这一维，只考虑\(k\)。为了不混用，下面的\(u,v\)就是最上面\(x\)变成\(y\)这一过程中的\(i,j\)，代价还是\(cnt[x]+cnt[y]+n-u\)。

\(k=0\)，\(f[i][0]\)可以\(f[i-1][0],f[i-1][1]\)转移。但要从\(f[i-1][1]\)转移就是令第\(i\)位为\(u\)，也就是需满足\(x=1,y=0\)，此时既可以\(f[i-1][0]\)也可以从\(f[i-1][1]\)转移。

\(k=1\)，\(f[i][1]\)可以\(f[i-1][1],f[i-1][2]\)转移。同理要从\(f[i-1][2]\)转移就是令第\(i\)位为\(v\)，也就是要满足\(x=0,y=1\)，且此时只能从\(f[i-1][2]\)转移。

上面两个转移虽然形式像但是不同。

\(k=2\)，\(f[i][2]\)只能从\(f[i-1][2]\)转移。

当\(k=1\)或\(2\)时，也就是\(u\)还没出现，此时\(ans\)+=\(g\)，这样就能统计\(n-u\)这个答案了（后面n-u位中，算每位的时候答案都加上一个当前的方案数g'，合起来就是那个(n-u)*g）。

可能还会不懂...我再写一下：

假设有三位\(1,2,3\)，现在考虑第\(1\)位，本来是在这里加\((n-1)*g[2]\)，\(g[2]\)是填\(2\)及后面的位的方案数，\(g[2]\)就等于\(\sum g[3]\)，所以\((n-1)=2，2*g[2]\)就是\(g[2]+\sum g[3]\)。

所以你在\(g[2]\)统计一次，每个\(g[3]\)那统计一次，就是\(g[2]+\sum g[3]=2*g[2]=(n-1)*g[2]\)。

再扩展几位也是这样。

还不懂的话看代码吧...感觉说不太清楚啊QAQ

---

\(O(n^2)\)：

//0.68s	16.9MB
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define mp std::make_pair
#define pr std::pair<int,int>
#define mod 1000000007
#define Add(x,v) (x+=v)>=mod&&(x-=mod)
typedef long long LL;
const int N=505;

int A[N];
pr f[N][N][8];
char s[N];

pr DFS(int x,int las,int s)//s:lim,f1,f2 f1:是否已x>y f2:是否已统计过答案
{
	if(!x) return mp(0,1);
	if(f[x][las][s].first!=-1) return f[x][las][s];
	LL res1=0,res2=0;
	int lim=s&1, f1=s>>1&1, f2=s>>2&1;
	for(int i=0; i<2; ++i)
		for(int j=0; j<2; ++j)
		{
			if(lim && i>A[x]) continue;
			if(!f1 && i<j) continue;
			pr v=DFS(x-1,i>j?x:las,(lim&&i==A[x])|((f1||i>j)<<1)|((f2||i<j)<<2));
			res1+=v.first, res2+=v.second;
			if(i) res1+=v.second;
			if(j) res1+=mod-v.second;
			if(!f2 && i<j) res1+=1ll*v.second*(las-1)%mod;
		}
	return f[x][las][s]=mp(res1%mod,res2%mod);
}

int main()
{
//	freopen("yjqaa.in","r",stdin);
//	freopen("yjqaa.out","w",stdout);

	scanf("%s",s+1); int n=strlen(s+1);
	std::reverse(s+1,s+1+n);
	for(int i=1; i<=n; ++i) A[i]=s[i]-'0';
	for(int i=1; i<=n; ++i)
		for(int j=0; j<=n; ++j)
			f[i][j][0].first=f[i][j][1].first=f[i][j][2].first=f[i][j][3].first=
			f[i][j][4].first=f[i][j][5].first=f[i][j][6].first=f[i][j][7].first=-1;
//			f[i][j][0][0][0].first=f[i][j][0][0][1].first=f[i][j][0][1][0].first=f[i][j][0][1][1].first=
//			f[i][j][1][0][0].first=f[i][j][1][0][1].first=f[i][j][1][1][0].first=f[i][j][1][1][1].first=-1;
	printf("%d\n",DFS(n,0,1).first);

	return 0;
}

\(O(n)\)：

//4ms	488KB
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define mp std::make_pair
#define pr std::pair<int,int>
#define mod 1000000007
#define Add(x,v) (x+=v)>=mod&&(x-=mod)
typedef long long LL;
const int N=505;

int A[N];
pr f[N][2][3];
char s[N];

void operator +=(pr &x,pr y)
{
	Add(x.first,y.first), Add(x.second,y.second);
}
pr DFS(int x,int lim,int s)//s:0/1/2
{
	if(!x) return s==1?mp(0,0):mp(0,1);
	if(f[x][lim][s].first!=-1) return f[x][lim][s];
	LL res1=0,res2=0;
	const int xL=0, xR=lim?A[x]:1;
	for(int i=xL; i<=xR; ++i)
	{
		const int yL=s==1?i:0, yR=!s?i:1;
		for(int j=yL; j<=yR; ++j)
		{
			pr v;
			if(!s)
			{
				v=DFS(x-1,lim&&i==xR,0);
				if(i && !j) v+=DFS(x-1,lim&&i==xR,1);
			}
			else if(s==1)
			{
				if(!i && j) v=DFS(x-1,lim&&i==xR,2);
				else v=DFS(x-1,lim&&i==xR,1);
			}
			else v=DFS(x-1,lim&&i==xR,2);
			res1+=v.first, res2+=v.second;
//			if(i) res1+=v.second;
//			if(j) res1+=mod-v.second;
//			if(s) res1+=v.second;
			res1+=(i-j+(s>0))*v.second;
		}
	}
	return f[x][lim][s]=mp(res1%mod,res2%mod);
}

int main()
{
//	freopen("yjqaa.in","r",stdin);
//	freopen("yjqaa.out","w",stdout);

	int T; scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%s",s+1); int n=strlen(s+1);
		std::reverse(s+1,s+1+n);
		for(int i=1; i<=n; ++i) A[i]=s[i]-'0';
		for(int i=1; i<=n; ++i)
			f[i][0][0].first=f[i][0][1].first=f[i][0][2].first=
			f[i][1][0].first=f[i][1][1].first=f[i][1][2].first=-1;
		printf("%d\n",DFS(n,1,0).first);
	}

	return 0;
}