找出数组中求和等于y的所有子数组

算法记录：

给定一个数组x，每个元素都是正整数，找出其中满足条件“求和等于y”的所有子数组。（简化问题，每个元素都不相等）

x=[x1,...,xn]，暴力搜索，复杂度O(2^n)，不可取。

动态规划思路。构建矩阵A：

• A[j,i]=k，如果k!=-1，表示数组[x1,...,xk]包含求和等于j的子数组，如果k=-1，表示数组[x1,...,xi]不包含求和等于k的子数组。
• 最终需要返回能构成求和等于y的子数组，则先看A[y, :]行，检测是否有不等于-1的值，如果有，例如A[y,z]，则说明[A1, ..., Az]包含目标子数组，并且Az是其中的元素。
  
  接下来迭代地求解求和等于y-xz的子数组。

算法实现如下，下面的算法只找出了一个子数组，稍作修改可以找出所有子数组。

矩阵A非常稀疏，可以通过优化的数据结构减少开销。

import numpy as np

x = [1,2,3,4]

n = len(x)
M = sum(x) + 1
A = (np.ones(M * n)*-1).reshape(M, n)

## 计算矩阵A
i = 0
A[x[i], i] = i

for i in range(1, n):
	for j in range(M):
		if A[j, i - 1] != -1 and j + x[i] < M:
			A[j + x[i], i] = i
			A[x[i]    , i] = i

print(A)
y=4

## 寻找子数组
res = []
while y > 0:
	idss = (A[y]>=0)
	if idss.any():
		idss = A[y, idss]
		ids = int(idss[0])
		res.append(ids)
		y = int(y - x[ids])
	else:
		break

print(res)