二叉堆（binary heap）—— 优先队列的实现

二叉堆因为对应着一棵完全二叉树，因而可以通过线性数组的方式实现。

• 注意，数组第 0 个位置上的元素，作为根，还是第 1 个位置上的元素作为根？

  • 本文给出的实现，以数组第 1 个位置上的元素作为根，则其两个孩子 ⇒ 2*i, 2*i+1
  • 而第 0 个位置上的元素，则用来作为标志变量（Size 不包括此变量）；

• 在元素逐个插入的过程中（插入在合适的位置），实现二叉堆的构建；自然删除也需按着指定的规则；

1. 声明

struct HeapStruct;
typedef struct HeapStruct* PriorityQueue;

PriorityQueue Init(int MaxElements);
...
void Insert(ElementType X, PriorityQueue PQ);
ElementType DeleteMin(PriorityQueue PQ);

2. 实现

struct HeapStruct {
    int Capacity;
    int Size;
    ElementType* Elements;
};

PriorityQueue Init(int MaxElements){
    PriorityQueue PQ;
    PQ = (PriorityQueue)malloc(sizeof(struct HeapStruct));
    if (!PQ) ....
    PQ->Elements = (ElementType)malloc(MaxElements*sizeof(ElementType));
    if (!PQ) ...
    PQ->Capacity = MaxElements;
    PQ-Size = 0;
    PQ->Elements[0] = INT_MIN;
}

void Insert(ElementType X, PriorityQueue PQ) {
    if (IsFull(PQ)) ...
    for (int i = ++PQ->Size; PQ->Elements[i/2] > X; i /= 2) {
        PQ->Elements[i] = PQ->Elements[i/2];
    }
    PQ->Elements[i] = X;
}

比较困难的是删除时，二叉堆结构在线性数组上的维持：

ElementType DeleteMin(PriorityQueue PQ) {
    if (IsEmpty(PQ)) ...
    ElementType MinElement, LastElement;
    MinElement = PQ->Elements[1];
    LastElement = PQ->Elements[PQ->Size--];
    int Child;
    for (int i = 1; i*2 <= PQ->Size; ++i) {
        Child = 2*i;
        if (Child != PQ->Size && PQ->Elements[Child+1] < PQ->Elements[Child])
            Child = Child + 1;
        if (PQ->Elements[Child] < LastElement)
            PQ->Element[i] = PQ->Elements[Child];
        else
            break;
    }
    PQ->Elements[i] = LastElement;
    return MinElement;
}