树形$dp$学习笔记

今天学习了树形\(dp\)，一开始浏览各大\(blog\)，发现都\(TM\)是题，连个入门的\(blog\)都没有，体验极差。所以我立志要写一篇可以让初学树形\(dp\)的童鞋快速入门。

树形\(dp\)

概念类

树形\(dp\)是一种很优美的动态规划，真的很优美真的，前提是在你学会它之后。

实现形式

树形\(dp\)的主要实现形式是\(dfs\)，在\(dfs\)中\(dp\)，主要的实现形式是\(dp[i][j][0/1]\)，\(i\)是以\(i\)为根的子树，\(j\)是表示在以\(i\)为根的子树中选择\(j\)个子节点，\(0\)表示这个节点不选，\(1\)表示选择这个节点。有的时候\(j\)或\(0/1\)这一维可以压掉

基本的\(dp\)方程

选择节点类

\[\begin{cases}
dp[i][0]=dp[j][1]
\\
dp[i][1]=\max/\min(dp[j][0],dp[j][1])\\
\end{cases}
\]

树形背包类

\[\begin{cases}
dp[v][k]=dp[u][k]+val\\
dp[u][k]=max(dp[u][k],dp[v][k-1])\\
\end{cases}
\]

例题类

以上就是对树形\(dp\)的基本介绍，因为树形\(dp\)没有基本的形式，然后其也没有固定的做法，一般一种题目有一种做法。

没有上司的舞会

这道题是一树形\(dp\)入门级别的题目，具体方程就用到了上述的选择方程。

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 6001
using namespace std;
int ind[N],n,hap[N],dp[N][2],fa[N],root,vis[N],ne[N],po[N];
void work(int x)
{
    for(int i = po[x]; i; i = ne[i])
    {
        work(i);
        dp[x][1]=max(max(dp[x][1],dp[x][1]+dp[i][0]),dp[i][0]);
        dp[x][0]=max(max(dp[x][0],dp[i][1]+dp[x][0]),max(dp[i][1],dp [i][0]));
    }
}
int main()
{
    cin >> n;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cin >> dp[i][1];
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        int a,b;
        cin >> b >> a;
        ind[b]++;
        ne[b] = po[a];
        po[a] = b;
    }
    for(int i=1; i<=n; i++)
        if(!ind[i])
        {
            root=i;
            break;
        }
    work(root);
    cout << max(dp[root][0],dp[root][1]);
}

最大子树和

这道题的\(dp\)方程有变，因为你的操作是切掉这个点，所以你的子树要么加上价值，要么价值为\(0\)，所以\(dp\)方程是

\[dp[u]+=max(dp[v],0)
\]

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>

using namespace std;
struct edge
{
    int next,to;
} e[40000];
int head[40000],tot,rt,maxn;
void add(int x,int y)
{
    e[++tot].next=head[x];
    head[x]=tot;
    e[tot].to=y;
}
int n,dp[20000],ind[20000];
int val[20000],f[20000];
void dfs_f__k(int x,int fa)
{
    f[x]=fa;
    for(int i=head[x]; i; i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].to;
        if(v!=fa)
            dfs_f__k(v,x);
    }
}
void dfs(int x)
{
    dp[x]=val[x];
    for(int i=head[x]; i; i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].to;
        if(v!=f[x])
        {
            dfs(v);
            dp[x]+=max(0,dp[v]);
        }
    }
    maxn=max(maxn,dp[x]);
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1; i<=n; i++)scanf("%d",&val[i]);
    for(int i=1; i<=n-1; i++)
    {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        add(a,b);
        add(b,a);
    }
    rt=1;
    dfs_f__k(rt,0);
    dfs(rt);
    printf("%d",maxn);
}

选课

这道题的意思是每本书要想选择一门课，必须要先学会它的必修课，所以这就形成了一种依赖行为，即选择一门课必须要选择必修课。那么他又说要选择的价值最大，这就要用到树形背包的知识了。

树形背包的基本代码形式（即上面的树形背包类）

/*
设dp[i][j]表示选择以i为根的子树中j个节点。
u代表当前根节点，tot代表其选择的节点的总额。
*/
void dfs(int u,int tot)
{
	for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].to;
		for(int k=0;k<tot;k++)//这里k从o开始到tot-1，因为v的子树可以选择的节点是u的子树的节点数减一
			dp[v][k]=dp[u][k]+val[u];
		dfs(v,tot-1)
		for(int k=1;k<=tot;k++)
			dp[u][k]=max(dp[u][k],dp[v][k-1]);//这里是把子树的值赋给了根节点，因为u选择k个点v只能选择k-1个点。
	}
}

然后这就是树形背包的基本形式，基本就是这样做

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

int n,m;
struct edge
{
    int next,to;
}e[1000];
int rt,head[1000],tot,val[1000],dp[1000][1000];
void add(int x,int y)
{
    e[++tot].next=head[x];
    head[x]=tot;
    e[tot].to=y;
}
void dfs(int u,int t)
{
    if (t<=0) return ;
    for (int i=head[u]; i; i=e[i].next)
    {
        int v = e[i].to;
        for (int k=0; k<t; ++k)
            dp[v][k] = dp[u][k]+val[v];
        dfs(v,t-1);
        for (int k=1; k<=t; ++k)
            dp[u][k] = max(dp[u][k],dp[v][k-1]);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int a;
        scanf("%d%d",&a,&val[i]);
        if(a)
          add(a,i);
        if(!a)add(0,i);
    }
    dfs(0,m);
    printf("%d",dp[0][m]);
}

Strategic game

这道题的意思是选择最少的点来覆盖一棵树，可以用最小点覆盖（也就是二分图最大匹配）或者树形\(dp\)来做，因为这里我们的专题是树形\(dp\)，所以我们现在就讲树形\(dp\)的做法。

我们做这道题的方法是用选择方程来做，因为你要做最小点覆盖，要么选这个点要么不选对吧。

于是\(dp\)的转移方程就是上述一方程

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;
int n;
struct edge
{
    int next,to;
} e[4000];
int head[4000],tot,dp[4000][2],ind[4000];
void add(int x,int y)
{
    e[++tot].next=head[x];
    head[x]=tot;
    e[tot].to=y;
}
void dfs(int x)
{
    dp[x][1]=1;
    for(int i=head[x]; i; i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].to;
        dfs(v);
        dp[x][0]+=dp[v][1];
        dp[x][1]+=min(dp[v][0],dp[v][1]);
    }
}
int main()
{
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        memset(head,0,sizeof(head));
        memset(ind,0,sizeof(ind));
        tot=0;
        for(int j=1; j<=n; j++)
        {
            int a,b;
            scanf("%d:(%d)",&a,&b);
            for(int i=1; i<=b; i++)
            {
                int c;
                scanf("%d",&c);
                ind[c]++;
                add(a,c);
            }
        }
        int rt;
        for(int i=0; i<=n; i++)
            if(!ind[i])
            {
                rt=i;
                break;
            }
        dfs(rt);
        printf("%d\n",min(dp[rt][1],dp[rt][0]));
    }
}