DP---基本思想 具体实现 经典题目 POJ1160 POJ1037

POJ1160, post office。动态规划的经典题目。呃，又是经典题目，DP部分的经典题目怎就这么多。木有办法，事实就这样。

求：在村庄内建邮局，要使村庄到邮局的距离和最小。

设有m个村庄，分别为 V1 V2 V3 … Vm， 要建n个邮局，分别为P1 P2 P3 … Pn。

在DP的问题中，经常有从m个物体中选n个物体的情况，本题显然也属于这种情况。一般可以这样考虑：假设已经选了1个，那么就成了在m-1个中选n-1个的问题了。

对于此题，也可以考虑先建一个邮局。建在哪里呢？不妨设，该邮局建在Vk+1..Vm之间的某个村庄里，而且规定Vk+1..Vm之间再不允许建立其他邮局了。因此，剩下的n-1个邮局必然出现在V1..Vk之间的村庄内，这样问题就转换成：在前k个村庄里选n-1个邮局的问题。

设dp( m,n )表示在V1…Vm之间建立n个邮局时的最短距离。

L( i, j )表示在Vi…Vj之间建立一个邮局的最短距离。

状态转换方程：

dp( m,n ) = Min( dp( k,n-1 ) + L( k+1,m ) ),    其中：1 <= k<m

编程实现：没啥说的，具体看代码。

POJ1037, a decorative fence。这个题绝对不是入门级的，如果能独立做出来，那已经很NB了。嘿嘿，这一大段英文，先要把题目看懂就得费些气力。

问题：有n个长度不同的木条，现在按照类似字典顺序（长度小的排在前）对这n个木条排序，求第m个图像是什么？

设这n个木条分别为S1 S2 S3…Sn,它们的对应长度分别为1 2 3...n.

对这n个木条进行排序，结果无非有下面n类： 以S1开头，以S2开头…以Sn开头。按照题目要求对这n类进行排序。

S1 。。。

S2 。。。

。。。

Sn 。。。

如果能算出每个区间有多少种排列，那么就能确定要求的第m个排列了。好抽象呀，还是举个例子吧。如果以S1开头的有10种排列，以S2开头的有10种排列…现在有n个木条，如果要确定第15个排列，那么就可以知道第15个排列必然是以S2开头的。因为已经知道了最终排列的第一个木条是S2,那么只要依次求出后面n-1个木条即可。如果能把S2开头的区间再划分成若干个区间，并且知道每个区间的大小就和上面的问题一样了。

S2 S1 。。。

S2 S3 。。。

。。。

S2 Sn 。。。

这时问题就转换为：有n-1个木条，现在要确定第5个排列（15-10=5，以S1开头的排列已占去了10个）

现在结合题目，题目要求出现波浪形，即有高度变换。这时以Si开头的排列又可以分成两类：第二个木条比Si高，我们记做Hi, 第二个木条比Si低，我们记做Li。这时区间细分成如下形式：

L1 。。。

H1 。。。

L2 。。。

H2 。。。

。。。。。。

Ln 。。。

Hn 。。。

要确定最终的排列，关键是要知道每个区间里排列的个数。

设L( x,n )表示n个木条的排列中，以长度为x的木条开始，且下一个木条比X低的排列数。H( x,n )表示n个木条的排列中，以长度为x的木条开始，且下一个比X高的的排列数

状态转换方程：

L( x, n ) = , 其中 1 <= i < x

H( y, n ) = , 其中 y <= i < n

有状态方程在手，就可以依次确定要求排列的每个木条。

参考资料：

http://jay23jack.blog.163.com/blog/static/317951942009130215813/

http://blog.163.com/leyni@126/blog/static/16223010220103150173663/

POJ1160

[cpp] view
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1. #include <iostream>
2. using namespace std;
3. //***********************常量定义*****************************
4. const int V_MAX = 305;
5. const int P_MAX = 35;
6. const int INF = 999999999;
7. //*********************自定义数据结构*************************
8. //********************题目描述中的变量************************
9. //村庄数
10. int vNum;
11. //邮局数
12. int pNum;
13. //村庄坐标
14. int vPos[V_MAX];
15. //**********************算法中的变量**************************
16. //d[i][j]表示在村庄i和村庄j之间建1个Post office的最小距离和
17. int d[V_MAX][V_MAX];
18. //dp[i][j]表示在村庄1和村庄i之间建j个Post office的最小距离和
19. int dp[V_MAX][P_MAX];
20. //***********************算法实现*****************************
21. void Solve()
22. {
23. int i, j, k;
24. //利用DP，计算d[i][j]的值
25. for( i=1; i<=vNum; i++ )
26. {
27. for( j=i+1; j<=vNum; j++ )
28. {
29. d[i][j] = d[i][j-1] + ( vPos[j] - vPos[( i + j )/2] );
30. }
31. }
32. for( i=1; i<=vNum; i++ )
33. {
34. dp[i][0] = INF;
35. }
36. //利用DP，计算dp[i][j]的值
37. for( i=1; i<=vNum; i++ )
38. {
39. for( j=1; j<=pNum && j<=i; j++ )
40. {
41. int min = INF;
42. for( k=j-1; k<i; k++ )
43. {
44. if( dp[k][j-1] + d[k+1][i] < min )
45. min = dp[k][j-1] + d[k+1][i];
46. }
47. dp[i][j] = min;
48. }
49. }
50. cout << dp[vNum][pNum] << endl;
51. }
52. //************************main函数****************************
53. int main()
54. {
55. //freopen( "in.txt", "r", stdin );
56. cin >> vNum >> pNum;
57. for( int i=1; i<=vNum; i++ )
58. {
59. cin >> vPos[i];
60. }
61. Solve();
62. return 0;
63. }

POJ1037

[cpp] view
plaincopy

1. #include <iostream>
2. using namespace std;
3. //***********************常量定义*****************************
4. const int MAX_N = 25;
5. //*********************自定义数据结构*************************
6. //********************题目描述中的变量************************
7. //木条的数目
8. int n;
9. //栅栏的编号
10. long long c;
11. //**********************算法中的变量**************************
12. //up[n][i]表示：n个木条，且第一个木条长度为i的上升型栅栏数目
13. long long up[MAX_N][MAX_N];
14. //down[n][i]表示：n个木条，且第一个木条长度为i的下降型栅栏数目
15. long long down[MAX_N][MAX_N];
16. bool used[MAX_N];
17. bool isPrint;
18. //***********************算法实现*****************************
19. void FillTable()
20. {
21. down[1][1] = 1;
22. up[1][1] = 1;
23. down[2][1] = 0;
24. up[2][1] = 1;
25. down[2][2] = 1;
26. up[2][2] = 0;
27. int i, j, k;
28. for( i=3; i<MAX_N; i++ )
29. {
30. //??? j<=MAX_N
31. for( j=1; j<MAX_N; j++ )
32. {
33. //??? k=j
34. for( k=j; k<i; k++ )
35. {
36. up[i][j] += down[i-1][k];
37. }
38. for( k=1; k<j; k++ )
39. {
40. down[i][j] += up[i-1][k];
41. }
42. }
43. }
44. }
45. void SolveAndPrint( int id, int count )
46. {
47. for( int i=1; i<=count; i++ )
48. {
49. if( used[i] && i<=id )
50. {
51. id++;
52. count++;
53. }
54. }
55. used[id] = true;
56. if( isPrint )
57. {
58. cout << " " << id;
59. }
60. else
61. {
62. cout << id;
63. isPrint = true;
64. }
65. }
66. //************************main函数****************************
67. int main()
68. {
69. //freopen( "in.txt", "r", stdin );
70. int caseNum;
71. cin >> caseNum;
72. //DP的填表
73. FillTable();
74. while( caseNum-- )
75. {
76. cin >> n >> c;
77. //先搜索down
78. bool isDown = true;
79. bool isFirst = true;
80. int id = 1;
81. isPrint = false;
82. memset( used, 0, sizeof(used) );
83. while( n )
84. {
85. if( isDown )
86. {
87. if( c > down[n][id] )
88. {
89. c -= down[n][id++];
90. if( isFirst )
91. {
92. //设置标记，下次搜索up
93. isDown = false;
94. //对每个id有down和up两个值
95. //确定第一个数时，down和up都要搜索
96. id--;
97. }
98. }
99. else
100. {
101. //如果当前木条长度可确定
102. //问题规模减一
103. SolveAndPrint( id, n-- );
104. isFirst = false;
105. isDown = false;
106. id = 1;
107. }
108. }
109. else
110. {
111. if( c > up[n][id] )
112. {
113. c -= up[n][id++];
114. if( isFirst )   isDown = true;
115. }
116. else
117. {
118. SolveAndPrint( id, n-- );
119. isFirst = false;
120. isDown = true;
121. }
122. }
123. }
124. cout << endl;
125. }
126. return 0;
127. }

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