DZY Loves Partition

问题描述

DZY喜欢拆分数字。他想知道能否把nn拆成恰好kk个不重复的正整数之和。

思考了一会儿之后他发现这个题太简单，于是他想要最大化这kk个正整数的乘积。你能帮帮他吗？

由于答案可能很大，请模109710​9​​+7输出。

输入描述

第一行tt，表示有tt组数据。

接下来tt组数据。每组数据包含一行两个正整数nkn,k。

(1t502nk1091≤t≤50,2≤n,k≤10​9​​)

输出描述

对于每个数据，如果不存在拆分方案，输出1−1；否则输出最大乘积模109710​9​​+7之后的值。

输入样例

4
3 4
3 2
9 3
666666 2

输出样例

-1
2
24
110888111

Hint

第一组数据没有合法拆分方案。
第二组数据方案为3123=1+2，答案为1221×2=2
第三组数据方案为92349=2+3+4，答案为234242×3×4=24。注意93339=3+3+3是不合法的拆分方案，因为其中包含了重复数字。
第四组数据方案为666666333332333334666666=333332+333334，答案为333332333334111110888888333332×333334=111110888888。注意要对109710​9​​+7取模后输出，即
110888111

记sumakaa1ak1sum(a,k)=a+(a+1)+⋯+(a+k−1)。

首先，有解的充要条件是sum1knsum(1,k)≤n（如果没取到等号的话把最后一个kk扩大就能得到合法解）。

然后观察最优解的性质，它一定是一段连续数字，或者两段连续数字中间只间隔1个数。这是因为1ab21≤a<=b−2时有aba1b1ab<(a+1)(b−1)，如果没有满足上述条件的话，我们总可以把最左边那段的最右一个数字作为aa，最右边那段的最左一个数字作为bb，调整使得乘积更大。

可以发现这个条件能够唯一确定nn的划分，只要用除法算出唯一的aa使得sumaknsuma1ksum(a,k)≤n<sum(a+1,k)就可以得到首项了。

时间复杂度OnO(√​n​​​)，这是暴力把每项乘起来的复杂度。

110888111
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
int a[100005];
int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (T--)
    {
        int n, k;
        scanf("%d %d", &n, &k);
        LL tmp = (LL)k * (k + 1) / 2;
        if (tmp > n)
        {
            puts("-1");
            continue;
        }
        for (int i = 1; i <= k; i++) a[i] = i;
        n -= tmp;
        for (int i = 1; i <= k; i++) a[i] += n / k;
        n -= n / k * k;
        for (int i = k; i >= 1 && n > 0; i--, n--) a[i]++;
        LL ans = 1;
        for (int i = 1; i <= k; i++)
        {
            ans *= a[i];
            ans %= 1000000007;
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}