【洛谷2624】[HNOI2008] 明明的烦恼（Python+利用prufer序列结论求解）

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大致题意： 给你某些点的度数，其余点度数任意，让你求有多少种符合条件的无根树。

\(prufer\)序列

一道弱化版的题目：【洛谷2290】[HNOI2004] 树的计数。

这同样也是一道利用\(prufer\)序列求解的题。

还是考虑到由\(prufer\)序列得到的结论：对于给定度数为\(d_{1\sim n}\)的一棵无根树共有\(\frac{(n-2)!}{\prod_{i=1}^n(d_i-1)!}\)种情况。

但这次就不能直接套公式了。

推式子

考虑对于已知度数的点，设其个数为\(k\)，且\(d_i-1\)的和为\(s\)。

然后对于这些已知的点，我们易得方案数为：

\[\frac{s!}{\sum_{i=1}^k(d_i-1)!}
\]

由于这\(k\)个点可以任选，因此还需乘上一个组合数，得到：

\[C_{n-2}^k\cdot\frac{s!}{\sum_{i=1}^k(d_i-1)!}
\]

则剩下的\(n-2-s\)个位置是可以任意排列的，而又共有\(n-k\)个点，因此总方案数为：

\[C_{n-2}^k\cdot\frac{s!}{\sum_{i=1}^k(d_i-1)!}*(n-k)^{n-2-s}
\]

然后就可以直接算了。

求解答案

\(Python\)大法好，无需高精度除法，也无需质因数分解\(23333\)。

代码

n=(int)(input());k=0;s=0;a=[0 for i in range (n+5)];#初始化
for i in range(1,n+1):
    a[i]=(int)(input());
    if a[i]==0:print(0);exit();#判断无解
    if a[i]!=-1:k+=1;s+=a[i]-1;#统计k与s
if s>n-2:print(0);exit();#判断无解
f=[0 for i in range(n+5)];f[0]=1;#建立阶乘数组
for i in range(1,n+1):f[i]=f[i-1]*i;#预处理阶乘
ans=ans=(f[n-2]//f[s]//f[n-2-s])*f[s];#初始化ans为C(n-2,s)*s!
for i in range(1,n+1):
    if a[i]!=-1:ans//=f[a[i]-1];#计算答案
print(ans*pow(n-k,n-2-s));#计算答案