GDKOI2015 Day2

P1

题目描述：

　　给出一个二分图，选择互不相交的边，使得边覆盖的点权和最大。

solution：

　　简单DP，用树状数组维护最大值。

　　时间复杂度：$O(n \log n) $

P2

题目描述：

　　给出N个或黑或白的元素，每个元素有与A集合和B集合相对应的A,B两个值，将N个元素分成A,B两个集合，使每个集合的前K大中的黑色元素的总和最大。

solution：

　　因为每个元素都有两个关键字，而且每个关键字只对对应的集合有用，所以必须对其中一个关键字进行固定。枚举A集合的第K大是哪个元素(i)，因为只需要黑色元素总和最大，所以A值比A[i]大的黑色元素都归到A集合，A值比A[i]小的白色元素也归到A集合（防止该元素是B集合的前K大）。然后对黑色元素和剩下的白色元素进行DP，状态f[p][q]表示到前p个元素有q个元素分到了A集合的最大值。

　　时间复杂度：$ O(n^3) $

P3

题目描述：

　　给定一棵树。在线求路径点序列u -> ... -> v1，连续子序列a1,a2 ... ak满足a1<a2< ... <aj>aj+1 >aj+2 >.....>ak或者a1>a2>... >aj< aj+1<aj+2<.... <ak，1<=j<=k，求最大的 \(k\)。

solution：

　　关于树的算法不多，这题LCA就可以了，只是如何实现合并而已，我们对于LCA的每个区间记12个域：

　　区间左端：

　　- 递增

　　- 递减

　　- 先增后减

　　- 先减后增

　　区间右端:

- 递增

- 递减

- 先增后减

- 先减后增

- 区间左端编号

- 区间右端编号

- 区间长度

- 最大值

　　至于转移方程嘛……，自己推。

　　时间复杂度：$ O(n \log n) $

P4

题目描述：

　　给出一个一开始为0的无穷栈，每次从栈顶拿出一个数\(top\)，并把栈里剩下的元素最低位变成$ (Y+1) \mod K \(（Y为之前的最低位），然后用top与L相比，如果\) top < L \(，那么X减一，否则把\)top+AK\(复制K份放入栈中。当\)X=0$时，结束操作，输出top。

solution：

　　这题的数据很大，因此应该是找规律的题目。观察可得，栈里面的数的变化只与出栈次数有关，如果要把栈里的某一个元素出栈，必须经历s次出栈，而( s%K=1).

　　令$ L=cAK+d \(，而栈里的数i只可能是\) i=pAK+p,(0\leq p\leq c+1, 0\leq q\leq d) \(因此我们可以寻找循环节。例如\)K=5，L=21，A=2$

　　这表格包含了所有可能的数字，从纵向来看，它代表某一个数加AK的值，横向来看，它代表每个数的变化。红色为死亡濒临线。对于第二行（从下向上数）的数来说，必须死13次才能将其出栈，对于第一行来说，必须要死135次才能将其出栈。如果要将第一行的全部出栈，必须死$ 135^2 $次。

再举一个例子：\(K=5,L=26,A=2\)

对于第三行要5次，第二行(5^{2)，第三行(5}3)，……

再利用第一个例子研究答案：

30 31 32 33 34 * 31 32 33 34 30 * 22 23 24 *
31 32 33 34 30 * 22 23 24 * 30 31 32 33 34 *
22 23 24 * 30 31 32 33 34 * 31 32 33 34 30 *
23 24 * 30 31 32 33 34 * 31 32 33 34 30 * 22
24 * 30 31 32 33 34 * 31 32 33 34 30 * 22 23

31 32 33 34 30 * 22 23 24 * 30 31 32 33 34 *
22 23 24 * 30 31 32 33 34 * 31 32 33 34 30 *
23 24 * 30 31 32 33 34 * 31 32 33 34 30 * 22
24 * 30 31 32 33 34 * 31 32 33 34 30 * 22 23
30 31 32 33 34 * 31 32 33 34 30 * 22 23 24 *

22 23 24 * 30 31 32 33 34 * 31 32 33 34 30 *
23 24 * 30 31 32 33 34 * 31 32 33 34 30 * 22
24 * 30 31 32 33 34 * 31 32 33 34 30 * 22 23
30 31 32 33 34 * 31 32 33 34 30 * 22 23 24 *
31 32 33 34 30 * 22 23 24 * 30 31 32 33 34 *

……

　　规律显得，

　　当d<K时，每行有( (d+1)K+(K-d-1) )个元素，每一部分为一行出栈的死亡情况，所以答案的循环节（即整个表格死一次）为( ((d+1)K+(K-d-1))K^c )

　　算答案时令( t=(d+1)K+(K-d-1) )，把X拆成( X=a_{0}+\sum_{i=1}^{c}a_{i}tK{i-1} ),通过( (\sum_{i=1}^{c}a_{i})%K )算出答案所在行，再利用( a_{0} )确定列。

　　当d>=K时，每行有K个元素，所以答案的循环节为( K^(c+2) )，计算答案就想一想好了。

　　废话不说（我也解释不清），上代码（和链接）

　　wck

　　lyl

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <queue>
#include <deque>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL oo=1e18;

int T;
LL X, K, L, A;

int main()
{
    freopen("avenger.in", "r", stdin);
    freopen("avenger.out", "w", stdout);
    scanf("%d", &T);
    while (T--)
    {
        scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d", &X, &K, &L, &A);
        LL AK=A*K;
        LL c=L/AK, d=L-AK*c;
        LL ans=0;
        if (d>=K-1)
        {
            --X;
            for (int i=1; X && i<=c+2; X/=K, ++i)
                ans=(ans+X%K)%K;
            printf("%I64d\n", (c+1)*AK+ans);
        }
        else
        {
            LL t=(d+1)*K+(K-d-1);
            --X;
            LL a0=X%t;
            X/=t;
            for (int i=1; X && i<=c; X/=K, ++i)
                ans=(ans+X%K)%K;
            if (ans<d+1)//the last is in the front最后一行在前
            {
                if (a0<(d-ans+1)*K)//the last
                {
                    LL tmp=a0%K;
                    a0/=K;
                    printf("%I64d\n", (c+1)*AK+(ans+a0+tmp)%K);
                }
                else//the last but one倒数第二行
                {
                    a0-=(d+1-ans)*K;
                    if (a0<K-1-d) printf("%I64d\n", c*AK+d+1+a0);
                    else//the last最后一行
                    {
                        a0-=(K-1-d);
                        printf("%I64d\n", (c+1)*AK+(a0%K+a0/K)%K);
                    }
                }
            }
            else//the last but one is in the front倒数第二行在前
            {
                if (a0<(K-d-1)-(ans-d)+1)
                    printf("%I64d\n", c*AK+a0+ans);
                else//the last最后一行
                {
                    a0-=(K-d-1)-(ans-d)+1;
                    if (a0<K*(d+1))
                        printf("%I64d\n", (c+1)*AK+(a0/K+a0%K)%K);
                    else//the last but one倒数第二行
                    {
                        a0-=K*(d+1);
                        printf("%I64d\n", c*AK+d+1+a0);
                    }
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}