LCA 近期公共祖先 小结

LCA 近期公共祖先 小结

以poj 1330为例。对LCA的3种经常使用的算法进行介绍，分别为

1. 离线tarjan

2. 基于倍增法的LCA

3. 基于RMQ的LCA



1. 离线tarjan

/*poj 1330 Nearest Common Ancestors
  题意：
  给出一棵大小为n的树和一个询问(u,v), 问(u,v)的近期公共祖先。
  限制：
  2 <= n <= 10000
  思路：
  离线tarjan
 */
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
using namespace std;
#define PB push_back
const int N=10005;

int fa[N];
vector<int> tree[N],query[N];
int anc[N];	//ancestor
bool vis[N];
int get_fa(int x){
	if(x!=fa[x]) return fa[x]=get_fa(fa[x]);
	return x;
}

void merge(int x,int y){
	int fa_x=get_fa(x);
	int fa_y=get_fa(y);
	if(fa_x==fa_y) return ;
	fa[fa_y]=fa_x;
}
//就是把搜过的合并在一起
void LCA(int rt){
	anc[rt]=rt;
	for(int i=0;i<tree[rt].size();++i){
		int ch=tree[rt][i];
		LCA(ch);
		merge(rt,ch);
		//cout<<rt<<' '<<ch<<' '<<get_fa(ch)<<endl;
		anc[get_fa(ch)]=rt;
	}
	vis[rt]=true;
	for(int i=0;i<query[rt].size();++i){
		if(vis[query[rt][i]]){
			cout<<anc[get_fa(query[rt][i])]<<endl;
			return ;
		}
	}
}
void init(int n){
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	memset(anc,0,sizeof(anc));
	for(int i=0;i<=n;++i){
		fa[i]=i;
		tree[i].clear();
		query[i].clear();
	}
}

int indeg[N];
void gao(int n){
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(indeg[i]==0){
			LCA(i);
			break;
		}
	}
}

int main(){
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		int n;
		scanf("%d",&n);
		init(n);
		int u,v;
		for(int i=0;i<n-1;++i){
			scanf("%d%d",&u,&v);
			tree[u].PB(v);
			++indeg[v];
		}
		scanf("%d%d",&u,&v);
		query[u].PB(v);
		query[v].PB(u);
		gao(n);
	}
	return 0;
}

2. 基于倍增法的LCA

/*poj 1330 Nearest Common Ancestors
  题意：
  给出一棵大小为n的树和一个询问(u,v), 问(u,v)的近期公共祖先。
  限制：
  2 <= n <= 10000
  思路：
  基于倍增法的算法，
  朴素的算法为：
  假设节点w是u和v的公共祖先的话，首先让u。v中较深的一方向上走|depth(u)-depth(v)|步。然后再一步一步向上走。直到同一个节点
  基于倍增法的优化：
  对于每一个节点预处理出2, 4, 8, ... 2^k步的祖先，然后搞。
 */
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
using namespace std;
#define PB push_back
const int N=100005;
const int LOGN=22;

vector<int> tree[N];

int fa[N][LOGN];
int depth[N];

void dfs(int u,int p,int d){
	depth[u]=d;
	fa[u][0]=p;
	for(int i=0;i<tree[u].size();++i){
		if(tree[u][i]!=p)
			dfs(tree[u][i],u,d+1);
	}
}

int LCA(int u,int v){
	if(depth[u]>depth[v]) swap(u,v);
	for(int i=0;i<LOGN;++i){
		if(((depth[v]-depth[u]) >> i) & 1)
			v=fa[v][i];
	}
	if(u==v) return u;
	for(int i=LOGN-1;i>=0;--i){
		if(fa[u][i]!=fa[v][i]){
			u=fa[u][i];
			v=fa[v][i];
		}
	}
	return fa[u][0];
}

int indeg[N];

void predo(int n){
	int root;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(!indeg[i]){
			root=i;
			break;
		}
	}
	dfs(root,-1,0);
	for(int j=0;j+1<LOGN;++j){
		for(int i=1;i<=n;++i){
			if(fa[i][j]<0) fa[i][j+1]=-1;
			else fa[i][j+1]=fa[fa[i][j]][j];
		}
	}
}

void init(int n){
	memset(indeg,0,sizeof(indeg));
	for(int i=0;i<=n;++i)
		tree[i].clear();
}

int main(){
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		int n;
		scanf("%d",&n);
		init(n);
		int u,v;
		for(int i=0;i<n-1;++i){
			scanf("%d%d",&u,&v);
			tree[u].PB(v);
			++indeg[v];
		}
		predo(n);
		scanf("%d%d",&u,&v);
		printf("%d\n",LCA(u,v));
	}
	return 0;
}

3. 基于RMQ的LCA

/*poj 1330 Nearest Common Ancestors
  题意：
  给出一棵大小为n的树和一个询问(u,v), 问(u,v)的近期公共祖先。
  限制：
  2 <= n <= 10000
  思路：
  对于涉及有根树的问题。将树转化为从根dfs标号后得到的序列处理的技巧经常十分有效。对于LCA。这个技巧也十分有效。首先。按从根dfs訪问的顺序得到顶点序列vs[i]和相应的深度depth[i]，对于每一个顶点v，记其在vs中首次出现的下标为id[v]。
  这些都能够dfs一遍搞定。而LCA(u,v)就是訪问u之后到訪问v之前所经过顶点中离根近期的那个。如果id[u] <= id[v]则有：
  LCA(u,v) = vs[id[u] <= i <= id[v]中令depth(i)最小的i]
  这个能够用rmq求得。

*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
#define PB push_back
const int N=100005;

int dp[N*2][18];
void make_rmq_index(int n,int b[]){ //返回最小值相应的下标
    for(int i=0;i<n;i++)
        dp[i][0]=i;
    for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
        for(int i=0;i+(1<<j)-1<n;i++)
            dp[i][j]=b[dp[i][j-1]] < b[dp[i+(1<<(j-1))][j-1]]?

dp[i][j-1]:dp[i+(1<<(j-1))][j-1];
}
int rmq_index(int s,int v,int b[]){
	int k=(int)(log((v-s+1)*1.0)/log(2.0));
	return b[dp[s][k]]<b[dp[v-(1<<k)+1][k]]?

dp[s][k]:dp[v-(1<<k)+1][k];
}

vector<int> tree[N];
int vs[N*2]; //dfs訪问的顺序
int depth[N*2]; //节点的深度
int id[N]; //各个顶点在vs中首次出现的下标

void dfs(int u,int p,int d,int &k){
	id[u]=k;
	vs[k]=u;
	depth[k++]=d;
	for(int i=0;i<tree[u].size();++i){
		if(tree[u][i]!=p){
			dfs(tree[u][i],u,d+1,k);
			vs[k]=u;
			depth[k++]=d;
		}
	}
}

int indeg[N];

void predo(int n){
	int root;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(indeg[i]==0){
			root=i;
			break;
		}
	}
	int k=0;
	dfs(root,-1,0,k);

	/*
	for(int i=0;i<k;++i)
		cout<<i<<':'<<vs[i]<<' ';
	cout<<endl;
	for(int i=0;i<k;++i)
		cout<<i<<':'<<depth[i]<<' ';
	cout<<endl;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		cout<<i<<':'<<id[i]<<' ';
	cout<<endl;
	*/

	make_rmq_index(n*2-1,depth);
}

int LCA(int u,int v){
	return vs[rmq_index(min(id[u],id[v]), max(id[u],id[v])+1, depth)];
}

void init(int n){
	memset(indeg,0,sizeof(indeg));
	for(int i=1;i<=n;++i)
		tree[i].clear();
}

int main(){
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		int n;
		scanf("%d",&n);
		init(n);
		int u,v;
		for(int i=0;i<n-1;++i){
			scanf("%d%d",&u,&v);
			tree[u].PB(v);
			++indeg[v];
		}
		predo(n);
		scanf("%d%d",&u,&v);
		printf("%d\n",LCA(u,v));
	}
	return 0;
}
/*
input:
1
5
2 3
3 4
3 1
1 5
3 5

output:
0:2 1:3 2:4 3:3 4:1 5:5 6:1 7:3 8:2
0:0 1:1 2:2 3:1 4:2 5:3 6:2 7:1 8:0
1:4 2:0 3:1 4:2 5:5
3
*/