2D平面中关于矩阵（Matrix）跟图形变换的讲解

在二维平面上，常用的有以下三种基本的图形变化：

1）Translation

2）Scale

3）Rotation

在canvas的开发中，我们也经常会用到这样的一些图形变换，尤其是我们在写自定义View时，更是会经常利用到Matrix来实现一些效果，比如平移，旋转，缩放及切变等，相信很多朋友应该很想知道，矩阵实现这种变换的原理是什么，什么是矩阵的左乘右乘，它们在实现效果上有什么差别吗？今天就让我们一起来看一下吧。

都是由点组成的

平面上的元素，就是点，线，面，而线就是由一个个点组成的，而是由一条条线组成的，所以归根结底，平面上所有的图形都是由点组成的。而在我们坐标系中，一个点就是由一对x，y值组成的，p = {x, y}。而在平面上，过两点间的，我们可以画一条直线，所以我们一般通过 p1, p2可定义一条直线，e = {p1, p2}，而图形呢，则是由众多的点和点之间的的线段组成的。所以，其实平面上的图形变换，就是点坐标位置的变换。

在平面上，一个点，可以通过一个向量或者矩阵来表示：

而下面这条红色的直线则是由一组组的点组成的，起始点是（120,0），终点是（240,120）。

Translation（平移）

如果我们现在要平移这条直线，向右120（tx），向下120（ty），那么新的点会是怎么样呢？很显然，起始点就会是（240，120），而终点就会是（360，240），效果如下：

绿色的线就是平移后的线了，可以看出每一个新的点的值是

这样的一个变换translation也可以用一对值来表示，t = {tx, ty}，其中tx是在x坐标上的偏移量，而ty是在y坐标上的偏移量。移动点 p 到 p'，我们只要加上这个偏移就行，如果用矩阵或者向量来表示就是：

（可能会有朋友觉得奇怪，怎么是加呢，canvas里面矩阵不都是乘吗？这是什么原因呢？）

Scale（缩放）

那如果我们对这条直线进行放大呢，比如放大2倍呢，一般来讲，我们缩放，是指所有维度的缩放，当然在这里就只有x坐标跟y坐标，当然也可以只针对一个维度，但是就会变形了哦。我们先看一下放大到2倍的效果和只放大列的效果吧。

          

很显然，两边都放大的话，起始点由（120，0）变成（240，0），终点由（240，120）变成（480，240）。而如果只放大列的话，起始点的坐标是不变的。而且我们可以看到，放大的时候，线也跟着向右平移了一个单位，为什么会这样呢？这是因为缩放是基于原点（0，0）的，在canvas中，也就是屏幕的左上角，但缩放的位数大于1的时候，就会远离原点，而相反，当缩放的位数小于1时，则会趋近原点。

缩放的变换是由下面的矩阵来表示的：

那么缩放后的直线的点就是：

各位朋友，可以想一下，这样直接Scale的话，这个图形可是会平移的哦，如果不想要平移，应该怎么办？

Rotation（旋转）

我们再看一下下图，这条直线顺时针旋转了45度，也就是往逆时针方向旋转了 - 45 度，这里的α 代表的是顺时针旋转角度

那么新的点是怎么算出来的呢？

逆时针（注意这里）旋转的矩阵表示是：

同样的，旋转后的点就是根据下面的矩阵相乘而得出来的结果：

我们可以将我们的点代进去求解，可得新的起始点P0'为（84.85，84.85），而新的结束点为：（84.85，254.56），可看出，刚好是上面绿色线所在的地方。

 

Combine Transformation （组合变换）

对于Scale 和 Rotation 来说，它们都是基于原点（0,0）的变换，那如果我们要让它基于某个点缩放或者旋转，就比如绕着起始点转呢，而这也经常是我们想要的一种效果。这个点就是所谓的旋转，而解决办法其实就是将图形先平移到原点，再进行缩放或者旋转的变化，然后再移回来，就可以了。

假设这三种变换的矩阵表示如下：

那么它应该实施的变换就如下：先平移 T 到原点，再基于原点进行缩放（或者旋转），然后再平移回去，

其实这一步，我们可以在Canvas的代码中看到的，如下：

     /**
      * Preconcat the current matrix with the specified scale.
      *
      * @param sx The amount to scale in X
      * @param sy The amount to scale in Y
      * @param px The x-coord for the pivot point (unchanged by the scale)
      * @param py The y-coord for the pivot point (unchanged by the scale)
      */
     public final void scale(float sx, float sy, float px, float py) {
         translate(px, py);
         scale(sx, sy);
         translate(-px, -py);
     }

上面代码中的轴点的实现，其实就是对于平移的来回操作，至于为什么是translate(px,py)在前，而translate(-px,py)在后呢，这涉及到矩阵左乘和右乘的计算，后面我们会谈到的。

 

Homogeneous Coordinates（齐次坐标）

在上面的矩阵中，我们可以看到平移的矩阵是相加的，而旋转跟缩放的矩阵都是相乘的，这样计算起来多麻烦呀！于是为了方便计算，大家都统一用一种方式来进行计算，聪明的计算机图形科学家，它们就设计出这样一种坐标系，叫homogeneous coordinates，而它的目的只是为了更加方便地去用矩阵来计算图形的变换，没有其他。

那什么是齐次坐标呢？

其实就是在原来2D的维度，再加上一个新的维度，多出来的维度的值永远是1，比如点的矩阵就变成：

而Translation（平移）的矩阵表示就变成：

这样，平移变换的加法就可以变成乘法：

而Scale（缩放）跟Rotation（旋转）相对应的矩阵也就变成：

看到这几个，大家发现了没有？没错，这几个就是我们canvas中用到的矩阵了。

 

当我们在Canvas上用Scale的时候，其实就是乘上S矩阵，当我们用Rotate的时候，其实就是乘上R矩阵，大家明白没有？

转载自：https://blog.csdn.net/linmiansheng/article/details/18801947

关于矩阵左乘右乘，前乘后乘的关系，如果有困惑的朋友，可以看一下下面这篇文章：

https://blog.csdn.net/linmiansheng/article/details/18820599

 

另外矩阵相关文章：

https://www.cnblogs.com/fangsmile/p/5651429.html